Seriál 19. ročníku

1. Z balíčku 32 karet se náhodně vyberou tři karty. Zjistěte pravděpodobnosti jevů, že mezi vybranými kartami bude právě jedno eso, alespoň jedno eso, ani jedno eso.
2. $N$ stejných částic se nachází v nádobě. Určete pravděpodobnost, že v levé půlce bude o $m$ částic více než v pravé půlce. Nakreslete graf závislosti pro $N=10^{10}$. Rozsah $m$ volte tak, aby pravděpodobnost na krajích intervalu byla desetinová oproti středu intervalu. Jak závisí šířka křivky (tj. rozdíl $m_{2}-m_{1}$, kde $m_{2}>0$ a $m_{1}<0$ jsou hodnoty $m$, pro které je pravděpodobnost poloviční oproti maximu) na $N?$
3. Odhadněte velikost ln ($n!)$ (bez použití Stirlingova vzorce).

1. Jaký je vztah mezi počtem mikrostavů $Ω(E)$ termostatu s energií $≤ E$ a veličinou $η(E)$ (tj. počtem mikrostavů s energií v intervalu $E±Δ$) pro malá $Δ$?
2. Mějme systém $N$ nezávislých harmonických oscilátorů, přičemž energie každého oscilátoru může nabývat hodnot $nhω$ s $n=0,1,2,\ldots$ (zanedbáváme energii nulových kmitů). Jaký bude mít tvar veličina $η(E)$ a $β(E)$ pro velká $N$ a $E$?
3. Najděte stejné veličiny jako v předchozím příkladu pro systém $N$ neinteragujících volných elektronů uvězněných a) na úsečce, b) ve čtverci, c) v krychli.

Nápověda: Použijte de Broglieho relace mezi hybností a vlnovou délkou de Broglieho vlny. Na úsečku se musí vejít celý počet půlvln. De Broglieho vlny ve čtverci si lze představit coby součin vln ve směru osy $x$ a osy $y$, kvantovací podmínka je podobná jako pro úsečku.

1. Pomocí podobné úvahy jako v příkladu v textu určete, jaký tvar má Gultbergův-Waageův zákon pro složitější reakce (např. $2A+B -> A_{2}B$). Zkuste zjistit, jestli (a jak dobře) tento zákon odpovídá skutečnosti.
2. Maxwellova-Boltzmannova rozdělení odvoďte, jaké mocnině teploty je úměrná střední kinetická energie částic plynu. Ověřte si, že jste schopni stejnou metodou zjistit, jak závisí na teplotě střední hodnota libovolné mocniny rychlosti.
3. Mějme systém nezávislých spinů, diskutovaný v textu, o teplotě $T_{1}$, který se nachází v magnetickém poli o velikosti $B_{1}$. Následně systém adiabaticky zaizolujeme (tj. zavřeme jej do termosky, aby z něj nemohlo odcházet žádné teplo) a budeme pomalu zmenšovat magnetické pole až na hodnotu $B_{2}$. Kvalitativně vysvětlete, proč se bude snižovat teplota systému. Pokud možno vypočítejte, jaká bude výsledná teplota $T_{2}$.

Nápověda: Práce vykonaná na systému s magnetickým momentem $M$ při malé změně magnetického pole $B$ o $\rm{d}B$ je dána vztahem $\rm{d}W=-MdB$.

1. Jakou tepelnou kapacitu plynu složeného z tříatomových molekul s atomy uspořádanými do vrcholů trojúhelníku předpovídá klasická fyzika? Na jakou hodnotu tato kapacita poklesne při snížení teploty na 100 K?
2. Zjistěte chování výrazů pro vnitřní energii krystalu a energetické spektrum záření černého tělesa pro malé teploty. Odvoďte dále tzv. Wienův posunovací zákon. Ten říká, že frekvence $ω_{m}$, pro níž má závislost intenzity záření černého tělesa na teplotě maximum, je přímo úměrná teplotě.
3. Vypracujte lepší teorii tepelné kapacity krystalu, aby uvažovala kolektivní kmity atomů. Případné integrály nemusíte počítat.

Nápověda: Uvědomte si, že se krystalem šíří zvukové vlny (jak příčné, tak podélné, a to různými rychlostmi). Počet módů nemůže být větší, než je počet stupňů volnosti $3N$ krystalu ($N$ je počet částic).

1. Najděte hustotu stavů $g(E)$ pro volné elektrony a pomocí ní určete vztah mezi počtem elektronů a Fermiho energií při nulové teplotě. Zjistěte, jak musí záviset Fermiho energie na teplotě (při nevelkých teplotách), aby byl počet elektronů konstantní. Nakonec odhadněte počet excitovaných elektronů při pokojové teplotě.
   Nápověda: Nechte se inspirovat minulými díly seriálu a úlohami k nim.
2. Určete závislost μ na teplotě při malých teplotách a konstantním počtu částic v systému stejných bosonů. Najděte teplotní závislost počtu excitovaných bosonů při nízkých teplotách.

1. Kvalitativně popište, jak se chová tepelná kapacita Isingova modelu s nulovým vnějším magnetickým polem v okolí kritické teploty.
2. Podobným postupem, jako jsme vypočítali chování magnetizace $m$ v okolí kritického bodu, určete chování susceptibility $χ$ ($lim_{B→0}∂m⁄∂B$) a závislost magnetizace na magnetickém poli při kritické teplotě.
3. Ukažte, že model mřížového plynu vede ke kondenzaci a určete kritickou teplotu.
4. Prozkoumejte model binární slitiny.