Seriál 20. ročníku

V této úloze se budeme zabývat atomem vodíku, který je tvořen velice hmotným jádrem s nábojem $e$ a lehkým elektronem o hmotnosti $m$ s nábojem $-e$, který kolem jádra obíhá pro kruhové trajektorii.

• Určete, jak na základě klasické fyziky závisí vzdálenost elektronu od jádra atomu na jeho celkové (kinetické a potenciální) energii $E$.
• Přijměme Bohrovu hypotézu, že moment hybnosti elektronu je kvantován, tzn. může nabývat jen hodnoty $L=nh/2π$, kde $n$ je přirozené číslo. V jaké vzdálenosti potom může elektron kolem jádra atomu obíhat?
• Určete frekvenci fotonu, který elektron vyzáří, pokud přejde z $n$-té do $m$-té povolené vzdálenosti od jádra.

Částice se spinem 1/2 (např. elektron) se může nacházet ve dvou stavech projekce spinu na osu $z$. Buď spin míří nahoru, pak se nachází ve stavu |↑〉, či dolů, to je ve stavu |↓〉. Tyto dva stavy tvoří bázi dvoudimensionálního Hilbertova prostoru popisující právě částici se spinem 1/2.

• Napište, jak vypadá operátor identity na tomto prostoru v řeči vektorů |↑〉 a |↓〉.
• Najděte vlastní vektory a vlastní čísla matic $S_{1}$, $S_{2}$

a $S_{3}$.

• Máte zadány operátory $S_{+}$ a $S_{-}$ ve tvaru $S_{+}=|↑〉〈↓|$, $S_{-}=|↓〉〈↑|$.

Najděte jejich vyjádření v bázi vektorů |↑〉 a |↓〉 a určete, jak působí na obecný vektor |$ψ〉=a|↑〉+b|↓〉$. Jak vypadají vlastní vektory těchto operátorů a jaká jsou vlastní čísla?

• Definujme vektory

|⊗〉 = ( |↑〉 + |↓〉 ) ⁄ √2 |⊕〉 = ( |↑〉 − |↓〉 ) ⁄ √2. Ukažte, že tyto vektory tvoří bázi na našem Hilbertově prostoru a najděte vztah mezi koeficienty $a$, $b$ v rozkladu |$ψ〉$ do původní báze a koeficienty $c$, $d$ v rozkladu |$ψ〉=c|⊗〉+d|⊕〉$ do nové báze.

• Napište tvar operátorů spinu $S_{1}$, $S_{2}$ a $S_{3}$ v bázi vektorů |⊗〉 a |⊕〉. Určete jejich vlastní čísla a vektory.

Viz přiložené soubory.

Viz přiložené soubory.

Viz přiložený soubor.

Viz přiložený soubor.