Seriál 8. ročníku

Skokan na můstku se odrazí z prkna rychlostí $v=5\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$ kolmo vzhůru v okamžiku, kdy je deska maximálně prohnutá směrem dolů (o $A=30\;\mathrm{cm}$ pod rovnovážnou polohou). Za jak dlouho se opět s deskou srazí, pokud prkno kmitá s periodou $T=0,5\;\mathrm{s}$.

Srovnejte rychlost výpočtu v jednotlivých fázích (hrubé přibližování, dolaďování).

Upravte program uvedený v minulé sérii z metody regula falsi na metodu sečen a zjistěte, jak se zrychlí konvergence metody na stejném příkladu jako v minulé sérii. Úlohu uvažujte čistě kinematicky, bez počítání hybností a sil: deska kmitá jako volný harmonický oscilátor a skokan se pohybuje jako hmotný bod ve svislém vrhu. Ověřte, jak mnoho je nyní konvergence závislá va volbě výchozího bodu. Pokuste se metodu zrychlit pomocí Aitkinova procesu: vždy po třech přiblíženích spočtených bežným způsobem proveďte extrapolaci k řešení $γ$. Jak se uvedený postup vyplatí při metodě regula falsi a při metodě sečen?

Vezměte poslední popisovanou metodu tečen neboli Newtonovu, která určuje následující bod podle vzorce $c=b-\frac{\textrm{funkce}(b)}{\textrm{derivace}(b)}$ – pro ty neznalé derivování uvádíme pro náš případ

$$\textrm{derivace}(t)=-gt+v-\frac{2pA}{T}\sin\left(\frac{2pt}{T}\right)$$

Řešte touto metodou zadanou úlohu a ověřte rychlost konvergence jak pro přesný odhad počátečního intervalu $(0,88;\; 1,02)$, tak pro hrubý odhad $(0;\; 10)$.

Zjistěte, jak závisí přesnost dosaženého výsledku na počtu kroků u všech popsaných metod (bisekce, regula falsi, metoda sečen a tečen), tedy ověřte, zda je zpřesňování lineární, kvadratické, či jiné. Je tato vlastnost ovlivněna volbou počátečního intervalu?

Sestavte program pro iterační metodu a zvolte vhodnou konstantu $k$ pro fci $g$, abyste dostali vhodný interval okolo 1 splňující kontraktivnost. Ověřte lineární konvergenci a zkuste zjistit míru zrychlení při užití Aitkinova procesu.

Napište (a zašlete) program, který určí všechny kořeny polynomu. S jeho pomocí nalezněte čtyři řešení rovnice $x^{4}+2x^{3}+5x^{2}–4x+3=0$.