Seriál 17. ročníku

• V prostoru je homogenní magnetické a elektrické pole (homogenní pole má svou veličinu všude stejnou co do velikosti i směru). Je dána velikost

$E$ i $B$ a tyto vektory jsou na sebe kolmé. Jak se musí pohybovat elektron, aby na něj nepůsobila žádná síla? Jak je to v případě, že $E$ a $B$ svírají úhel $60^{\circ}$?

• Jak bylo řečeno v seriálu, nezmění se při přemístění jednoho z nábojů síla působící na druhý náboj hned. Pokuste se na základě tohoto faktu vysvětlit, proč má elektromagnetické pole hybnost.

• Spočtěte intenzitu elektrického pole v okolí dlouhého rovnoměrně nabitého drátu.
• Dokažte, že rovnoměrně nabitou kouli lze nahradit bodovým nábojem v jejím středu. Lze tento výsledek aplikovat i na gravitační pole?

(vysvětlete proč ano, resp. proč ne).

Spočtěte sílu působící mezi dvěma dalekými elektrickými dipóly o momentech $\textbf{p}_{1}$ a $\textbf{p}_{2}$ ve vzdálenosti $r$, pokud

• leží v jedné přímce a jsou souhlasně orientovány,
• jsou souhlasně orientovány ve směru kolmém na spojnici,
• dipól $\textbf{p}_{1}$ je orientován kolmo ke spojnici, $\textbf{p}_{2}$ rovnoběžně s ní směrem k prvnímu.

• Určete velikost a směr magnetické indukce kruhového závitu o poloměru $a$. Uvažujte bod na ose závitu ve vzdálenosti $z$ od středu kruhové smyčky.
• Určete velikost a směr vektorů magnetické indukce $\textbf{B}$ a vektorového potenciálu $\textbf{A}$ ve vzdálenosti $a$ od přímého vodiče délky $l$, pokud jím prochází proud $I$.

Bodový náboj o velikosti $Q$ přiblížíme do vzdálenosti $r$ od středu uzemněné vodivé sféry o poloměru $R$.

• Jak bude vypadat pole uvnitř sféry?
• Dokažte tvrzení v seriálu, že množinou bodů majících konstantní poměr vzdáleností od dvou bodů je sféra.
• Najděte náboje, jejichž polem lze nahradit pole vně sféry.

$\textbf{Bonus:}$ jaký celkový náboj se indukuje na sféře?

• Uvažujte potenciál elektrického pole, pro který platí

φ($\textbf{r})=\textbf{r}\cdot \textbf{A}\,,$

kde $\textbf{A}$ je konstantní vektor. Spočtěte vektor elektrické indukce, když víte, že $\textbf{E}=–\rm{grad}φ\,.$

• Spočtěte vektor magnetické indukce $\textbf{B}$, pokud pro vektorový potenciál platí

$\textbf{A}=(\textbf{r}×\textbf{G})/r\,,$

kde $\textbf{G}$ je konstantní vektor. Magnetickou indukci můžeme spočítat ze znalosti vektorového potenciálu pomocí vztahu $\textbf{B}=\rm{rot}\textbf{A}\,.$

• Určete, co je výsledkem působení Laplaceova operátoru na polohový vektor $\textbf{r}$. Laplaceův operátor působící na vektor definujeme podle vztahu

$Δ\textbf{A} = \rm{grad}\, \rm{div} \textbf{A} – \rm{rot}\, \rm{rot} \textbf{A}\,.$