Seriál 23. ročníku

• Co uvidí člověk stojící mezi dvěma spojenými na sebe kolmými zrcadly, jejichž spojnice je svislá?

• Mějme rovinné zrcadlo skloněné pod úhlem 45°, pohybující se zleva doprava rychlostí $v$. Zprava na něj dopadá paprsek světla rychlostí $c$ (úhel dopadu je tedy 45°) a odráží se zhruba nahoru. Pomocí Huygensova principu určete úhel mezi dopadajícím a odraženým paprskem, tedy vlastně opravte zákon odrazu a dopadu pro pohybující se zrcadlo.

Možná jste si všimli, že mezi zdrojem a průhlednou podložkou na fólie je v tradičním meotaru za účelem soustředění světla vložená dost zvláštní čočka, která vypadá spíš jako rýhovaná deska (viz také úloha VI.2 ze XVII. ročníku). Vznikne tak, že standardní ploskovypuklou čočku rozřezáme na soustředné prstence, z každého si necháme jen úplný konec a výsledek opět složíme, takže získáme něco jako „osově symetrické pahorkaté sklo“ (viz obrázek).

Takto vzniklá čočka má všude stejný sklon jako původní spojka, a podle Snellova zákona tak očekáváme, že bude stejně dobře soustřeďovat světlo. Naproti tomu, z pohledu Fermatova principu, už každé dráze nepřísluší stejný čas, neboť jsme v různých místech odebrali různě tlusté vrstvy skla – například úplně nejkratší čas teď odpovídá cestě po optické ose. Zdá se tedy, že Fermatův pricnip selhává – podle něj by čočka soustřeďovala jen světlo jdoucí po optické ose a nefungovala tak, jak má. Rozhodněte kdo má pravdu: Snell, Fermat? A proč?

• Najděte dráhy paprsků ve dvojrozměrné situaci, kdy závislost indexu lomu na vzdálenosti $r$ od počátku je dána funkcí

$n(r)=n_{0}⁄(1+(r⁄a))$.

• Bonus: Vložíme-li do prostoru s proměnlivým indexem lomu bodový zdroj světla,

může se stát, že se velká část paprsků, které z něj vycházejí, sejde v jednom bodě, jako je tomu v případě spojné čočky. Takto vzniklý bod pak nazýváme obrazem bodu původního. Popište geometrické zobrazení $zdroj→obraz$, které tímto způsobem indukuje prostředí s indexem lomu z předchozí úlohy.

• V textu seriálu jsme pracovali s diskrétním rozložením bodových zdrojů na přímce a jejich zobrazením na přímku. Nyní si představte, že máte zdroje světla rozložené na rovině a stínítko je rovina na ni rovnoběžná. Popište rozložení intenzity na stínítku v případě, že zdroje světla:

• Leží na jedné přímce s pravidelným intervalem $d$.

• Jsou rovnoběžné přímky, kde vzdálenost mezi sousedními přímkami je $d$.

• Leží ve vrcholech obdélníkové sítě, kde obdélníky mají strany $a$, $b$.

• Mějme následující situaci: Před stínítkem, reprezentovaném nějakou rovinou $xy$ je disk o poloměru $R$, rovnoběžně s rovinou. Ze strany disku na stínítko svítíme z nekonečna světlem, tzn. všechny paprsky jsou navzájem rovnoběžné

a kolmé na rovinu $xy$. Vysvětlete, proč situaci můžeme popsat pomocí bodových zdrojů světla spojitě rozložených všude na rovině ve které leží disk kromě disku samotného, najděte závislost intenzity světla na rovině $xy$ jako funkci $x$ a $y$ (není potřeba uzavřený tvar, stačí ve tvaru integrálu) a ukažte, že v bodě, který je na rovině $xy$ přímo naproti středu disku se děje něco, co bychom z hlediska geometrické optiky nečekali.

• Co se stane, když do krystalu kalcitu kolmo posvítíme kruhově polarizovaným světlem?
• Představte si, že je právě čas $t=0$, široko daleko není žádný náboj

($ρ=\textbf{j}=0)$, a my známe počáteční elektromagnetické pole v celém prostoru $\textbf{E}(\textbf{r},0)$ a $\textbf{B}(\textbf{r},0)$. Z rovnic (14) a (15) tedy můžeme vyjádřit časové derivace $∂\textbf{B}⁄∂t$ a $∂\textbf{E}⁄∂t$ pomocí prostorových a vypočítat tak $\textbf{E}$ a $\textbf{B}$ v následujícím okamžiku. Tento postup můžeme iterativně opakovat a dostat tak celý časový vývoj pole pro $t>0$. Jak je možné, že vůbec nemusíme použít první a druhou Maxwellovu rovnici?

• Uvažujte náboj velikosti $q$, který je v klidu pro $t\lt0$, a v čase $t=0$ na něj začne dopadat rovinná světelná vlna. Jak se bude náboj následně pohybovat, když světlo je polarizované (i) lineárně (ii) kruhově? Promyslete nejprve kvalitativně, přesný výpočet, případně počítačová simulace obdrží bonus.

• Index lomu v nelineárním materiálu závisí na intenzitě světla $I$ jako $n=n_{1}+n_{2}I$, kde $n_{1}$ a $n_{2}$ jsou konstanty větší než nula. Zamyslete se, co se bude dít s paprskem světla dané šířky, který tímto materiálem prochází. Předpokládejte, že intenzita paprsku klesá se vzdáleností od jeho středu. (Stačí kvalitativní úvaha, odvážnější se mohou pokusit vybudovat analytický model.)

• Deska tloušťky $a$ sestává z 2$N$ stejně širokých rovnoběných destiček ze dvou materiálů o indexech lomu $n_{1}$ a $n_{2}$ poskládaných na střídačku. Světelná vlna dopadá kolmo na čelní destičku. Jaký bude efektivní index lomu této smíchané desky pro $N→∞?$ Napadá vás proč? ( Nápověda: pro libovolnou matici $A$ platí $\rm{lim}_{N→∞}(I+A⁄N)^{N}=\exp(A)$, kde $I$ je jednotková matice a exp$(A)=I+A+A⁄2!+A⁄3!+\ldots)$