Seriál 25. ročníku

Některé hvězdy jsou považovány za obtočné, čili cirkumpolární. Znamená to, že jsou vidět po celý rok? Jaké hvězdy jsou v našich zeměpisných šířkách vidět po celý rok? Jaká souřadnice nám cirkumpolární hvězdy označuje? Jaká je situace u nás, na pólu a na rovníku? Pro ilustraci doporučujeme stáhnout program Stellarium (www.stellarium.org, licence GNU GPL, takže program je ke stáhnutí zdarma), kde si můžete zadat jakoukoliv zeměpisnou polohu a podívat se na jednotlivé situace.

Srovnejte absolutní hvězdnou velikost nejjasnější hvězdy letní oblohy, Vegy ($α$ Lyr, 7.76 $\;\mathrm{pc}$ daleko, zdánlivá hvězdná velikost -0,01 $\;\mathrm{mag}$) a Betelgeuze ($α$ Ori, 200 $\;\mathrm{pc}$ daleko, zdánlivá hvězdná velikost 0.42 $\;\mathrm{mag}$). Jak by se nám hvězdy jevily, kdyby si vyměnily vzdálenosti? Diskutujte viditelnosti.

Transformace a zase transformace. Zkuste si spočítat transformaci mezi galaktickými a ekvatoriálními souřadnicemi II. druhu. Výrazy nemusíte upravovat do verze uvedené v literatuře.

Janap má ve zvyku občas se ztratit. Ona za to nemůže, občas se to stane. Tentokrát však s sebou měla theodolit. Zázračnou krabičku, která umí určit výšku hvězd nad obzorem. Změřila si polohy hvězd Arcturus a Capella a zaznamenala přesný čas. Arcturus měl 123.20 $\;\mathrm{grad}$ v 18:46:30, Capella 113.60 $\;\mathrm{grad}$ v 19:18:30. Kdepak se Janap nacházela? (Nezapomeňte, že výška hvězd je uváděna v gradech, horizont je na úrovni 100 $\;\mathrm{grad}$, plný úhel je 400 $\;\mathrm{grad}$).

Absolutně černé těleso z definice pohltí všechno světlo, co na něj dopadne, ve všech vlnových délkách. Zároveň je to ideální zářič s charakteristickým spektrem. Můžeme si ho představit třeba jako temné okno domu. Slunce však na první pohled enegrii pouze vydává. Jak je tedy možné, že jeho zážení lze v prvním přiblížení aproximovat absolutně černým tělesem?

V textu jsme vyjádřili Planckovu funkci jako funkci vlnové délky a teploty. Zkuste ji vyjádřit v závislosti na teplotě a frekvenci. Dokažte, že pro velké vlnové délky a vysoké teploty Planckova funkce přechází v Raighleyův-Jeansův zákon $B_{λ}(T)=2ckT/λ^{4}$ a naopak ve Wienův zákon $B_{λ}=2hc^{2}/λ^{5}$ $\exp(-hc/λkT)$ pro nízké teploty a malé vlnové délky.

Kruh, který napozoroval Hubbleův vesmírný dalekohled v supernově SN1987A, má podél hlavní poloosy úhlový průměr 1,66''. Má jít o cirkulární objekt, který je díky natočení vůči nám pozorován jako elipsa (viz zde). Světlo ze vzdálenější části elipsy doletělo k Zemi o 340 dnů později, než z bližšího konce. Proměřte fotografii a určete úhel natočení vůči pozorovateli a zkuste spočítat poloměr kruhu. S pomocí trigonometrie určete vzdálenost objektu.

Pro určení červeného posuvu se zpravidla používají spektrální čáry vodíku. Odhadněte, do jaké hodnoty červeného pousuvu $z$ se pomocí spekter můžeme dostat. Zkuste zjistit (nebo navrhnout), jak se měří $z$ u vzdálenějších objektů.

Proč je třeba, aby byl molekulární mrak, ze kterého jsou tvořeny hvězdy, chladný? Zkuste odhadnout a zdůvodnit rozumnou teplotu.

Podíváme-li se na HR diagram některé z hvězdokup, najdeme velký rozptyl okolo hlavní posloupnosti. Jaké jsou způsoby, jak takový rozptyl může vzniknout? Ilustrační obrázek pro hvězdokupu Plejády, M45 najdete třeba tady.

Jak dlouho by žila hvězda, kdyby nebyla živena termonukleárními reakcemi, jen energií ze smršťování se?

Planetární mlhovina Helix má průměr 16' a nachází se ve vzdálenosti cca 213 $\;\mathrm{pc}$ od Země. Jaký je její skutečný poloměr a jak je stará, pokud se její obálka rozpíná s rychlostí 20 $\;\mathrm{km/s}$.

Spirální galaxie můžeme velmi hrubě popsat logaritmickou spirálou $r(\phi)=r(0)\exp(\phi\tan Φ)$, kde $r$ a $φ$ jsou polární souřadnice a $Φ$ je úhel otevření odpovídající úhlu, který svírá kolmice k průvodiči s tečnou ke spirále (úhel otevření roste ve směru hodinových ručiček, vyjadřujeme jej v radiánech, přičemž hodnota může nabývat více než $2π$). Uvažujme $Φ = 10°$. Odvoďte vztah pro poměr vzdáleností dvou sousedních závitů téhož spirálního ramene od centra galaxie. Jak by se poměr změnil, kdyby ramena byla čtyři (rovnoměrně rozložená). Vyjádřete vzdálenost pro sousední ramena v $r(0)=8 \;\mathrm{kpc}$.

Uvažujte nekonečný vesmír s konstantní hustotou hvězd a bez extinkce. Vyjádřete vztahy pro integrální a diferenciální počet hvězd v závislosti na zdánlivé hvězdné velikosti. Co se stane, bude-li zdánlivá hvězdná velikost velká?

Bonus: Jaká je pravděpodobnost, že dvě hvězdy se nám v galaxii promítnou za sebe? Uvažujte osamocené hvězdy, ne dvojhvězdy.

Aktivní galaxie se na obloze stejně jako hvězdy jeví jako bodové zdroje. Zkuste navrhnout co nejvíce způsobů, jak rozlišit hvězdu a aktivní galaxii.

Z rádiového pozorování kvasaru 3C 273 se zjistilo, že shluk hmoty v jetu se pohybuje od aktivního jádra s úhlovou rychlostí $\mu$ = $0.0008 \;\mathrm{rok^{ - 1}}$. Předpokládejte, že shluk se pohybuje v rovině oblohy kolmo na linii pozorování, vzdálenost je $d=440\;\mathrm{hMpc}$, $h$ je Hubbleova konstanta. Vyjádřete zdánlivou rychlost $v_{zd}$.

Odvoďte, pro jakou hodnotu úhlu $φ$ bude $β_{T}$ maximální?

Předpokládejme, že supermasivní černá díra v centru galaxie má účinnost 30 %. Kolik energie vyzáří, pohltí-li objekt o hmotnosti Země?

Vyjděte z Newtonova modelu vesmíru odvozeného v seriálu. Pro $E = 0$ vyřešte případ, že vesmír se rozpíná a hustota energie vakua se nemění. Odhadněte, jaká je na základě tohoto modelu budoucnost vesmíru.

Pokud je vesmír plný hvězd, jistě k nám dřív nebo později dorazí světlo z každé hvězdy. Jak je možné, že je i přes to v noci tma? Zdůvodnění zkuste podpořit i kvantitativními odhady.

V seriálu je uvedeno, jak odvodit existenci temné hmoty na kupě galaxií pomocí poměrně jednoduchého modelu. Zkuste navrhnout další způsob, jak dokázat existenci temné hmoty v kupách galaxií. Není třeba nutně podpořit výpočtem, stačí jednoduchý návrh.