Seriál 27. ročníku

• Kvantovou gravitaci potřebujeme jen při studiu velmi malých vzdáleností, kdy jsou gravitační síla a kvantové efekty rovnocenné. Gravitační sílu charakterizuje gravitační konstanta, kvantovou mechaniku Planckova konstanta a speciální teorii relativity rychlost světla. Najděte hodnoty těchto konstant v tabulkách a zkuste z nich vzájemným násobením a umocňováním získat veličinu s jednotkou délky. Tak získáte délkovou škálu, na které je relevantní gravitace a kvantová mechanika současně.

• Ukažte, že provedeme-li speciální Lorentzovu transformaci (tj. přejdeme do systém pohybujícímu se vůči původnímu rychlostí $v$ ve směru osy $x^1$)

$$x^0_\mathrm{nov}=\frac{x^0-\frac{v}{c}x^1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\,,\quad x^1_\mathrm{nov}=\frac{-\frac{v}{c}x^0+ x^1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\,,\quad x^2_\mathrm{nov}= x^2\,,\quad x^3_\mathrm{nov}= x^3 \, ,$$ potom se hodnota čtyřintervalu nezmění.

• Vzpomeňte na definici čtyřintervalu a položte $Δx^3 = Δx^2 = 0$. Máme pak $$(\Delta s)^2 = -\(\Delta x^0\)^2+ \(\Delta x^1\)^2\,.$$

V jaké části roviny $(Δx^{0},Δx^1)$ je čtyřinterval $(Δs)^2$ záporný a kde kladný? Jak vypadá křivka definovaná ( $Δs)=0?$

• Jaký je fyzikální rozměr akce? (Jaké má tato veličina jednotky?) Má stejnou jednotku jako některá z fundamentálních konstant z první otázky k minulému dílu seriálu? Která?

• Od Nielse Bohra – Uvažujte pohyb hmotného bodu po kružnici s dostředivou silou

$$F_\mathrm{d} = m a_\mathrm{d} = \frac{\alpha}{r^2}\,,$$ kde $r$ je poloměr kružnice a $α$ nějaká konstanta. Pak

• Spočítejte redukovanou akci $\mathcal{S}_{0}$ pro jeden oběh po kružnici jako funkci jejího poloměru $r$.
• Určete hodnoty $r_{n}$, pro které je hodnota $\mathcal{S}_{0}$ přirozeným násobkem konstanty z podúlohy a).
• Celková energie hmotného bodu je $E=T+V$. Pro tuto sílu je $V=-α⁄r$. Vyjádřete energie $E_{n}$ částic v závislosti na poloměrech $r_{n}$ za pomoci uvedených konstant.

Tip: Jistě jste ve fyzice probírali pohyb po kružnici a odpovídající vztahy mezi pohybovými veličinami. Použijte je a pak se integrace akce po obvodu kružnice s konstantním $r$ podstatně zjednoduší (veličiny konstantní při integraci můžete před integrál vytknout). Nezapomeňte také, že samotný dráhový integrál „ničeho“ je prostě délka zintegrované dráhy.

• Poslední podúloha může znít komplikovaně, ale je pouhým cvičením na derivaci a integraci jednoduchých funkcí. Vystačíte si se základními tabulkovými derivacemi a integrály. Ověřte, že plná akce $S$ pro volnou částici pohybující se z bodu [ 0$;0]$ do bodu [ 2$;1]je$ pro trajektorii odpovídající přímočarému pohybu (první případ) minimální, tedy je větší v ostatních dvou případech

$$\mathbf{y}(t)=\left(2t,t\right), \, \mathbf{y}(t)=\left(1-\cos{(\pi t)} \frac{1}{\pi}\sin{2\pi t}, t\right), \, \mathbf{y}(t)=\left( 2t, \frac{\;\mathrm{e}^t-1 t^2(t-1)}{\mathrm{e}-1}\right) \,,$$

kde e je Eulerovo číslo.

Tip: Nejprve spočtěte derivaci $\textbf{y}(t)$, dosaďte do výrazu pro akci a zintegrujte.

• V textu seriálu jsme využili přibližný vztah pro $\sqrt{1 + h^2}$, kde $h$ malá hodnota. Zkoumejte, jak přesná je to aproximace. Jak moc se může $h$ lišit od nuly, aby se aproximovaná a přesná hodnota lišily o méně než deset procent? Podobnou aproximaci můžeme provést pro libovolnou rozumnou funkci pomocí tzv. Taylorova rozvoje. Pokuste se na internetu najít Taylorův rozvoj například pro funkce $\cos h$ a $\sin h$ kolem bodu $h=0$, zanedbejte členy vyšší než $h$ a najděte přibližnou mezní hodnotu $h$, kdy se aproximovaná a přesná hodnota liší o 0,1.

• Uvažujme vlnovou rovnici pro klasickou strunu ze seriálu a nechť je struna pevně upevněna na jednom konci v bodě $[x;y]=[0;0]$ a na druhém konci v bodě $[x;y]=[l;0]$. Pro jaké hodnoty $ω,α,a$ a $b$ je výraz

$$y(x,t)=\sin ({\alpha} x)\left [a\sin {({\omega} t)} b\cos {({\omega} t)}\right ]$$

řešením vlnové rovnice? Tip: Dosaďte do pohybové rovnice a využijte okrajové podmínky.

• V minulém díle seriálu jsme porovnávali hodnoty akce pro různé trajektorie částice. Nyní vypočtěte hodnotu Nambu-Gotovy akce pro uzavřenou strunu, která od času 0 do času $t$ stojí na místě v rovině $(x^1, x^2)$ a má tvar kruhu o poloměru $R$. Máme tedy

$$X({\tau} , {\sigma} )=(c{\tau} , R\cos {{\sigma} }, R\sin {{\sigma} },0)$$

pro $σ∈<0,2π>.$ Načrtněte dále, jak vypadá světoplocha této struny (na poslední nulovou komponentu zapomeňme) a jak vypadají čáry konstantního $τ$ a $σ.$

• Podívejte se do textu, jak působí operátor polohy $ $$\hat X$$ $ na složky stavového vektoru v $x$-reprezentaci (vlnovou funkci) a spočítejte jejich komutátor, tj.

$$(\hat {X})_x \left((\hat {P})_x {\psi} (x)\right) - (\hat {P})_x \left((\hat {X})_x {\psi} (x)\right) $$

Tip Zjistěte si, co se stane při derivaci součinu dvou funkcí.

• Problém energetických hladin pro volnou kvantovou částici, tj. pro $V(x)=0$, vypadá následovně:

$$-\frac {\hbar ^2}{2m} \dfrac{\partial^2 {\psi} (x)}{\partial x^2}= E {\psi} (x)$$

• Zkuste jako řešení dosadit $ψ(x)=e^{αx}$ a zjistěte, pro jaká $α$ (obecně komplexní) je $E$ kladná (nadále používejte pouze taková $α$).
• Je toto řešení periodické? Pokud ano, tak s jakou prostorovou periodou (vlnovou délkou)?
• Je získaná vlnová funkce vlastním vektorem operátoru hybnosti (v $x$-reprezentaci)? Pokud ano, najděte souvislost mezi vlnovou délkou a hybností (tj. odpovídajícím vlastním číslem operátoru hybnosti) daného stavu.
• Zkuste formálně spočítat hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v prostoru naší vlnové funkci podle vzorce uvedeného v textu. Pravděpodobnost, že se částice vyskytuje v celém prostoru by měla být pro fyzikální hustotu pravděpodobnosti 1, tj.

$$\int_\mathbb{R} \rho(x) \;\mathrm{d} x=1.$$

Ukažte, že nelze naší vlnovou funkci $nanormovat$ (tj. přenásobit nějakou konstantou) tak, aby její formální hustota pravděpodobnosti podle vzorce z textu byla opravdovou, fyzikální hustotou pravděpodobnosti.

Bonus: Jaká si myslíte, že je limitně neurčitost polohy částice, jejíž vlnová funkce je hodně blízká té naší? (Tj. blíží se ve všech vlastnostech, ale má vždy normovanou hustotu pravděpodobnosti a je to tudíž fyzikální stav.) Lze odhadnout pomocí Heisenbergových relací neurčitosti jaká přitom bude nejméně neurčitost hybnosti?

Tip Dávejte pozor na komplexní čísla, například kvadrát komplexního čísla je něco jiného než kvadrát velikosti komplexního čísla.

• V druhém díle jsme si odvodili energetické hladiny elektronu ve vodíku pomocí redukované akce. Zvláštní shodou by řešení spektra hamiltoniánu v coulombickém potenciálu protonu vedlo na úplně samé energie, tj.

$$E_n = -{\;\mathrm{Ry}} \frac {1}{n^2}$$

kde $\mathrm{Ry} = 13,6\, \jd{eV}$ je energetická konstanta známá jako Rydbergova konstanta. Elektron, který spadne z libovolné hladiny na $n=2$, vyzáří energii ve formě jediného fotonu úměrnou rozdílu energie daných hladin. Ze kterých hladin musí elektron na druhou hladinu spadnout, aby bylo vyzářené světlo viditelné? Jakou budou mít odpovídající spektrální čáry barvu?

Tip Vzpomeňte si na fotoelektrický jev a na vztah mezi frekvencí světla a jeho vlnovou délkou.

Uvažujme otevřené struny a omezme se jen na tři prostorové rozměry. Namalujte, jak vypadá

• struna volně se pohybující v časoprostoru,
• struna připevněná oběma konci k D2-bráně,
• struna natažená mezi D2-bránou a D1-bránou.

Jaké jsou možnosti, kde mohou struny končit v případě konfigurace tří rovnoběžných D2-brán?

Vyberte si jednu z funkcí $\mathcal{P}_{\mu}^{\tau}$ nebo $\mathcal{P}_{\mu}^{\sigma}$ definovanou v první části seriálu a najděte její explicitní tvar (tj. přímo závislost na $\dot{X}^{\mu}$ a $X'^{\mu}$). Ukažte, že podmínky $\vect{X}'\cdot \dot{\vect{X}}=0$ a $|\dot{\vect{X}}|^2=-|\vect{X}'|^2$ opravdu vedou na zjednodušení uvedené v textu.

Najděte spektrum energií harmonického oscilátoru.

• Energie harmonického oscilátoru je dána Hamiltoniánem

$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2\,.$$ Druhý člen je očividně potenciální energií zatímco první dává po dosazení $\hat{p}=m\hat{v}$ kinetickou energii. Definujme lineární kombinaci $\hat{\alpha}=a\hat{x} + \;\mathrm{i} b\hat{p}$. Určete reálné konstanty $a$ a $b$, tak aby měl Hamiltonián tvar $$\hat{H}=\hbar \omega \left(\hat{\alpha} ^{\dagger}\hat{\alpha} + \frac{1}{2}\right)\,,$$ kde $\hat{\alpha} ^{\dagger}$ je komplexní sdružení $\hat{\alpha}$.

• Ukažte ze znalosti kanonických komutačních relací pro $\hat{x}$ a $\hat{p}$, že platí

$$\left[\hat{\alpha},\hat{\alpha}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ^{\dagger},\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ,\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=1$$

• Ve spektru oscilátoru bude určitě stav s minimální energií odpovídající nejmenšímu možnému kmitání. Označme ho $|0\rangle$. Tento stav musí splňovat $\alpha |0\rangle =0$. Ukažte, že je jeho energie rovna $\hbar\omega/2$, tj. $\hat{H}|0\rangle=\hbar\omega/2|0\rangle$. Dále ověřte, že pokud by bylo $\alpha |0\rangle \neq 0$, pak máme spor s tím, že má $|0\rangle$ minimální energii, tj. $\hat{H}\alpha |0\rangle=E\alpha|0\rangle$, kde nyní je $E<\hbar\omega/2$. Všechny vlastní stavy Hamiltoniánu můžeme potom psát jako $\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle$ pro $n=0,1,2,\dots$ Najděte energie těchto stavů, tj. čísla $E_n$ taková, že $\hat{H}\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle=E_n\left(\alpha^{\dagger}\right)^n|0\rangle$

Tip Použijte komutační relace pro $\hat{\alpha}^{\dagger}$ a $\hat{\alpha}$ .

• Jak bude vypadat spektrum otevřené struny na hmotnostní hladině $M^2 =2⁄α′$? Kolik máme možných stavů struny na této hladině?
• Pokud bychom uvažovali interakci tachyonu s jinými strunami, zjistili bychom, že ho můžeme popsat přibližně jako částici pohybující se v nějakém potenciálu. Uvažujme model struny, která je upevněna na nestabilní D-bráně. Odpovídající potenciál tachyonu je určen vztahem

$$V(\phi)=\frac{1}{3\alpha'}\frac{1}{2\phi _0}(\phi-\phi _0)^2\left (\phi + \frac{1}{2}\phi _0\right )\,,$$

kde $\alpha'$ a $φ_0$ jsou kladné konstanty. Roznásobte závorky a určete hmotnost tachyonu jako dvojnásobek koeficientu stojícího před $\phi^2$. Najděte minimum potenciálu $\widetilde{\phi}$ a ukažte, že provedeme-li v potenciálu záměnu $\phi \rightarrow \widetilde{\phi}+\phi$ (tj. rozvíjíme teorii kolem minima tachyonového potenciálu), dostaneme po roznásobení a odečtení koeficientu před $\phi^2$ kladnou hmotnost tachyonu. Záporná hmotnost tedy ukazuje na nestabilitu D-brány a ve stabilní konfiguraci, kdy D-brána vymizí (minimum potenciálu), již hmotnost není záporná.

• Teorie superstrun umožňuje popis fermionů. Pro jejich popis je však potřeba antikomutujících veličin. Pro ty se zavede namísto komutátoru antikomutátor vztahem

$$\{A,B\}=AB + BA$$

Najděte takové dvě $2\times 2$ matice $a$ a $b$, které splňují $\{b,\,b\} = 1$, $\{b,\,b\} = 1$ a $\{a,\,b\} = 0$.