Seriál 24. ročníku

a) Uvědomte si, že $n$-té odmocniny z komplexní jednotky leží na $n$-úhelníku, a dořešte Bombelliho rovnici $x^{3}-15x-4 = 0$. Nápovědu naleznete v textu seriálu.

b) Vyjádřete goniometrické součtové vzorce pomocí komplexních exponenciál.

c) Ukažte oprávněnost zanedbání vyšších mocnin v odvození Bernoulliho limity, tj. že do závorky můžeme přidat člen $o(1/N)$.

d) Použijte značení s malým $o$, abyste vyřešili úlohu, s jakou frekvencí kmitají body hmotnosti $m$ po ose $x$ v Yukawově potenciálu $\frac{k}{x}e^{x/λ}$ kolem rovnovážné polohy.

e) Dokažte, že Čebyševovy polynomy $\cos(n \arccos x)$ jsou skutečně polynomy.

Návod: Uvažujte komplexní jednotku $z$, která má reálnou část $x$. Pak se vyšetřovaný výraz rovná reálné části $z^n$, což musí být polynom, protože odmocniny a imaginární jednotky drží pospolu.

Viz zadání v pdf.

• Dopočtěte fyzikální význam konstanty $a$ pro funkci $f(z)=a\rm{i}⁄z$, znáte-li délkovou hustotu náboje $τ$.

• Vypočítejte a nakreslete ekvipotenciály a silokřivky pole v okolí rohu,

který má vrcholový úhel $θ$.

Nápověda: použijte funkci tvaru $w(z)=Az^{s}$, kde $s$ je vhodná reálná konstanta.

• Určete pole, které generuje elektrický dublet. Dublet jsou dvě tyče vzdálené $d$ s opačnou nábojovou hustotou, přičemž

$dτ=\;\mathrm{konst}$. Zajímá nás limita $d→0$.

Nápověda: platí ln$(1+x)≈x$ pro $x$ blízké 0.

• Rozmyslete si, co se stane, pokud existující komplexní potenciál $w(z)$

zobrazíme jinou holomorfní funkcí $v(z)$. Bude potenciál tvaru $v(w(z))$ i nadále řešit rovnice elektrostatiky?

• Dokažte tvrzení d), podle něhož Möbiova transformace zachovává úhly. Jedna z možností je uvědomit si, že v kruhové inverzi existují kružnice, které se zobrazují samy na sebe.
• Najděte podmínku na koeficienty Möbiovy transformace, aby zobrazovala komplexní kruh na komplexní kruh (|$z|$ = 1) a najděte konkrétní transformaci, která zobrazuje komplexní kruh na horní komplexní polorovinu. Co to fyzikálně znamená?
• Podle teorie relativity se tělesa pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla zkracují (Lorentzova kontrakce). To ovšem ještě neznamená, že bychom je viděli kratší (například, že bychom místo pohybující se koule viděli pohybující se elipsoid). Využijte představy, který jsme v tomto díle vybudovali, abyste odvodili, že předměty letící rychlostí světla vidíme o kousek pootočené, nikoliv zkrácené (Terellova rotace).

• Popište geometrickou konstrukci (pomocí kružítka a pravítka) profilu Žukovského.
• Zkuste nakreslit proudnice v okolí profilu Žukovského. Zvolte si takové parametry $d/l$ a $m/l$, aby měly praktické opodstatnění.
• Jaká vztlaková síla působí na rovnou desku? Jaká vztlaková síla působí na desku tvaru kruhového oblouku?
• Zkuste nakreslit profil křídla odpovídající Karmánově-Trefftzově transformaci.

• Předpokládejme, že máme radioaktivní látku $X$, která se rozpadá na látku $Y$ s poločasem rozpadu $T_{1}$, ta se následně rozpadá na stabilní látku $Z$ s poločasem rozpadu $T_{2}$. Jak závisí koncentrace látky $Y$ na čase, pokud jsme na počátku měli pouze látku $X?$
• Vypočtěte, jak vypadá difrakční obrazec vzniklý průchodem světla o vlnové délce λ štěrbinou šířky $d$.
• Pokuste se najít frekvence ω, pro které existuje řešení vlnové rovnice na čtverci o hraně $a$. Kolik různých funkcí odpovídá jedné úhlové frekvenci?

Nápověda: Pro prostorovou část předpokládejte řešení ve tvaru $A(x,y) = X(x) Y(y)$.