Vyhledávání úloh podle oboru

• Odvoďte Taylorův rozvoj exponenciály a pro $x=1$ graficky znázorněte posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}1⁄k!$ spolu s posloupností ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$.

Stejným způsobem porovnejte posloupnost ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$ a posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}x^{k}⁄k!$, čili posloupnost ${\sum_{k=1}^{n}x^{k}⁄k!}_{n=1,2,\ldots}$, tentokráte však pro $x=-1$.

• Druhý úkol bude určit závislost koncentrace elektronů a pozitronů na teplotě při celkovém náboji $Q=0$ v prázdné uzavřené horké dutině.

(Bude-li se vám chtít, i při jiných vámi zvolených hodnotách $Q.)$ Dále určete závislost poměru vnitřní energie $U_{e}$ elektronů a pozitronů ku celkové vnitřní energii systému $U$ (tj. součtu energie elektromagnetického záření a částic) na teplotě a určit hodnoty teploty odpovídající některým význačným hodnotám tohoto poměru (např. 3 ⁄ 4, 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4, …; může tento poměr nabývat všech těchto hodnot?).

Pokuste se své výsledky pěkně graficky zpracovat ve formě grafů (můžete zkusit i trojrozměrné).

Při vašem snažení vám může hodně pomoci, pokud si zavedete vhodné bezrozměrné jednotky (např. $βE_{0}$ místo $β$ apod.).

• Řešte soustavu diferenciálních rovnic pro $M(r)$ a $ρ(r)$ v modelu bílého trpaslíka pro několik vhodně zvolených hodnot $ρ(0)$

a pro každou z nich sledujte hodnotu, ke které se blíží $M(r)$ při $r→∞$. Ta je zřejmě rovna hmotnosti celé hvězdy. Pokuste se prozkoumat závislost této celkové hmotnosti na $ρ(0)$ a odhadnout její horní mez. Srovnejte váš výsledek s horní mezí hmotnosti bílého trpaslíka, kterou najdete v literatuře nebo na internetu. Uvažujte, že je hvězda tvořena héliem.

Modelujte časový vývoj vlnové funkce částice, kterou umístíme do potenciálu $V(x)=\frac{1}{2}kx$ a která je v čase $τ=0$ popsána vlnovou funkcí

$ψ_{R}(X,0)=\exp(-((X-X_{0}))⁄4)$,

ψ$_{I}(X,0)=0$.

Jedná se tedy o vlnový balík se středem mimo počátek. Prozradíme vám, že jde o tzv. koherentní stav harmonického oscilátoru a vlnový balík by měl harmonicky kmitat kolem počátku s úhlovou frekvencí $\sqrt{k⁄m}$ stejně jako klasická částice.

Pokud se vám toto podaří namodelovat, můžete vyzkoušet, jak se budou chovat vlnové balíky o jiné šířce (tedy se jmenovatelem v exponenciále odlišným od čtyř), případně jak bude situace vypadat při jiném průběhu potenciálu.

Skladování uranu

Zahřívající se drát

Kapacita krychle

Odhadněte tloušťku vody potřebnou k odstínění záření z jaderného reaktoru s výkonem $980\, \jd{MW}$ v plánovaném novém bloku JE Temelín. Z celkové energie uvolněné při štěpení jádra uranu připadne zhruba 82 % na kinetickou energii fragmentů, 6 % odnesou neutrina, po 6 % mají neutrony a gama fotony.

Nápověda: Pravděpodobnost, že částice projde materiálem do hloubky $d$, je přibližně rovna $e^{-σnd}$, kde $n=N/V$ je hustota molekul materiálu (v našem případě počet molekul vody v $1\, \jd{m^{-3}}$) a $σ$ je účinný průřez (cross section) pro absorpci částice na molekule. Účinný průřez má rozměr plochy ($\jd{m^2}$, často se užívá jednotka $\jd{barn} = 100\, \jd{fm^2}$) a závisí na energii částic. Hodnoty účinných průřezů se pokuste najít na internetu nebo v příslušných tabulkách.

Ve vzorku přirozeného uranu je 0,72 % izotopu $^{235}U$ s poločasem rozpadu 704 miliónů let a zbytek izotopu $^{238}U$, který má poločas rozpadu 4 468 miliónů let.

V sedmdesátých letech minulého století byla při těžbě uranu v oblasti Okla v rovníkovém Gabonu objevena ruda s relativním zastoupením
izotopu $^{235}U$ 0,44 % . Tento nesoulad lze vysvětlit tím, že se v ložisku kdysi samovolně zažehl přírodní jaderný reaktor.

Určete, po jakou dobu jaderná reakce probíhala, bylo-li štěpení $^{235}U$ vyvoláno pomalými neutrony. Ke srážce nějakého pomalého neutronu s daným jádrem dojde průměrně jednou za 352 tisíc let.

Jet Propulsion Laboratory v Kalifornii vyvíjí pro NASA nový typ raketových pohonů. Pohonná jednotka využívá hybnost $α$-částic při rozpadu nuklidu fermia $^{257}_{100}Fm_{157}$, jehož hmotnost je $m_{Fm}$ a poločas rozpadu $T$. Druhým produktem přeměny je nuklid kalifornia $^{253}_{98}{Cf}_{155}$. Hmotnost $α$-částice je $m_{α}$, hmotnost nuklidu kalifornia je $m_{Cf}$, přeměnou se uvolní energie $E$. Předpokládejte, že každá $α$-částice opouští raketu ve stejném směru.

Vesmírná sonda s popsaným pohonem je na počátku v klidu, její hmotnost je $M$, hmotnost pohonné látky je také $M$. Určete rychlost sondy $v$ po přeměně poloviny hmotnosti nuklidů fermia. Výslednou hodnotu dopočítejte i číselně pro hodnoty $E = 1,106\cdot 10^{-12}\, \jd{J}$, $M = 4\, \jd{kg}$ a $T = 100,5\, \jd{dní}$, ostatní hodnoty najdete v tabulkách.

Při měření rozpadu neutronu na elektron a proton proměřovali čeští vědci energii vylétávajícího elektronu. Jak mohou pouze na základě údajů z tohoto měření poznat, zda nevzniká při tomto rozpadu ještě jiná částice? Uvažujte, že neutron je před rozpadem v klidu.

Frekvence fotonu vyzářeného jádrem radioaktivního železa není vždy stejná, ale při rozpadech různých jader se nepatrně liší (to platí i pro jiná jádra). Pro jednoduchost předpokládejte, že hodnota energie fotonu v klidové soustavě jádra železa leží náhodně v intervalu ( $E_{0}-ΔE,E_{0}+ΔE)$, kde $E_{0}=14,4\;\mathrm{keV}$ (keV = kiloelektronvolt), $ΔE≈10^{-8}\;\mathrm{eV}$ ($1\, \jd{eV} = 1,602 \cdot 10^{-19} \jd{J}$).

• Vyzáří-li volný nehybný atom železa foton, musí mít tento atom podle zákona zachování hybnosti opačnou hybnost než vyzářený foton. Vypočítejte kinetickou energii takového atomu a porovnejte ji s veličinou $ΔE$.
• Takzvaný Mössbauerův jev spočívá v tom, že je-li foton vyzářen atomem železa vázaným v krystalu, může se hybnost „zpětného rázu“ předat celému krystalu. Vypočítejte kinetickou energii krystalu (posun energie fotonu) v tomto případě za předpokladu, že krystal je složen z řádově $10^{23}$ atomů.

Stejně jako emise fotonu může probíhat i jeho absorpce. Foton však může být absorbován jen tehdy, když jeho energie v klidové soustavě jádra leží v intervalu ( $E_{0}-ΔE,E_{0}+ΔE)$.

• Rozhodněte, zda může nehybný atom železa absorbovat foton vyzářený jiným nehybným atomem.
• Vypočítejte, jak rychle se vůči sobě musí pohybovat dva kusy železa, aby už první kus nemohl kvůli Dopplerovu jevu absorbovat fotony vyzářené druhým kusem. Dopplerovým jevem myslíme to, že frekvence záření $f$, kterou vyzařuje zdroj přibližující se rychlostí $v$, se v naší soustavě změní na $f′=(1+v⁄c)f$.

Předpokládejte, že při emisi i absorpci se uplatňuje výše zmíněný Mössbauerův jev.

Potřebné konstanty nalezněte v tabulkách.

Předpokládejme, že při vzniku Země na ní byly izotopy uranu $^{238}U$ a $^{235}U$, ale ne produkty jejich rozpadu. Izotop $^{238}U$ resp. $^{235}U$ se rozpadá s poločasem $T_{1} = 4,50 \cdot 10^{9}$ roků resp. $T_{2} = 0,710 \cdot 10^{9}$ roků. Ve srovnání s těmito časy jsou poločasy rozpadu produktů zanedbatelné, rozpadové řady končí stabilními izotopy $^{206}Pb$ a $^{207}Pb$.

Je-li v uranové rudě poměr počtu atomů uranu $^{238}U$ : $^{235}U$ = $137 : 1$ a poměr počtu atomů olova $^{206}Pb : ^{207}Pb = 28 : 17$, odhadněte stáří Země.

Jednou zaregistrovali v Utahu (USA) detektorem kosmického záření proton s energií $51\,\jd{J}$. Spočtěte jeho rychlost (nebo spíše o kolik se její rychlost liší od rychlosti světla). Odhadněte také zakřivení jeho dráhy v magnetickém poli $10\,\jd{T}$.