Vyhledávání úloh podle oboru

V mikrosvětě buněk rozlišujeme dva typy transportu: transport pomocí volné difuze, tj. Brownova pohybu, kde pohyb využívá přímo energie prostředí, a tzv. aktivní transport, který vyžaduje například proteinový motor pohybující se konstantní rychlostí po cytoskeletálním vlákně. Uvažujme typickou hodnotu difuzní konstanty $D \approx 10^{-9}  \mathrm{cm^2.s^{-1}}$ a rychlost aktivního transportu $u\approx 10^{-6}  \mathrm{m.s^{-1}}$. Pro jaké vzdálenosti se časově vyplatí difuzní a kdy naopak aktivní způsob pohybu? Uvažujte, že transport probíhá jen v jednom rozměru.

Úsek silnice o délce $a = 2,8 \mathrm{km}$ začíná semaforem s periodou $T$, na kterém signál zeleného světla trvá po dobu $t_1 = 79 \mathrm{s}$. Na konci tohoto úseku je druhý semafor se stejnou periodou, ale délka trvání téhož signálu je pro něj $t_2 = 53 \mathrm{s}$. Na obou semaforech se zelené světlo rozsvítí vždy ve stejný okamžik. Spočítejte, za jak dlouho průměrně přejedete celý úsek silnice (včetně čekání na semaforech), pokud se při jízdě pohybujete rychlostí $v = 60 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Čas potřebný na rozjezdy a brzdění zanedbejte.

Představme si, že na geosynchronní oběžnou dráhu umístíme velké množství satelitů. Shodou okolností dojde ke srážce, která se vymkne kontrole a vytvoří tenkou sférickou vrstvu homogenně posetou deseti miliony úlomků o průměrné velikosti $x = 10 \mathrm{cm}$. Předpokládejte, že směry rychlostí jednotlivých úlomků jsou v tečné rovině ke sféře orientované náhodně. Kolik času průměrně uplyne mezi dvěma srážkami?

1. Určete, kolik procent první stránky vzorového řešení úlohy 26-IV-5 zabírá černá barva. Řešení této úlohy najdete na https://fykos.cz/_media/rocnik26/ulohy/pdf/uloha26_4_5.pdf.
2. Představte si, že máte tužku, jejíž tuha má poloměr $r=0{,}8 \mathrm{mm}$. Tuha je vyrobena z grafitu v šesterečné soustavě, kde vzdálenost atomů uhlíku v jedné vrstvě je rovna $a = 2{,}46 \cdot 10^{-10} \mathrm{m}$ a jednotlivé vrstvy jsou od sebe vzdáleny $c = 6{,}71 \cdot 10^{-10} \mathrm{m}$. Jakou délku tuhy spotřebujete na pomalování celé čtvrtky A4, pokud se papír při barvení pokryje průměrně $100$ vrstvami tuhy?

\setcounter {enumi}{2}

1. Na obrázku je zobrazena stabilní tyčová soustava, která se nachází v tíhovém poli se zrychlením $g$. Nejtlustší linka znázorňuje dokonale tuhé tyče zanedbatelné hmotnosti. Na konci těchto tyčí je na nehmotném provázku upevněno závaží o hmotnosti $m$ (na obrázku zobrazeno středně tlustou linkou). Tenké čáry symbolizují délky tyčí. Platí, že $\alpha + \beta = 45\dg $. Tyč mezi úhly $\alpha $ a $\beta $ půlí horní tyč. Tyče mohou působit silou pouze ve svém směru (žádná složka není kolmá na tyč). Tyče jsou v místech dotyku s levou stěnou pevně upevněny. Určete, které tyče jsou namáhány v tlaku a které v tahu a spočítejte velikosti sil, které na ně působí.
2. Uvažujme spirálu, která začíná v počátku soustavy souřadné a odvíjí se rovnoměrně. Vzdálenost mezi jednotlivými závity $a$ je konstantní. Popište pohyb po této spirále ve vhodných souřadnicích.
3. Mějme šroubovici, která se odvíjí rovnoměrně. Šroubovice má konstantní poloměr $R$ a konstantní vzdálenost mezi závity $h$. Popište pohyb po šroubovici ve vhodných souřadnicích a určete, jaká je délka jednoho závitu této šroubovice.

Bonus: Vymyslete nebo najděte (a citujte) souřadnice, které nejsou v knihovničce FO a byly by vhodné pro popis nějakého fyzikálního problému (uveďte jakého). Souřadnice popište převodem z kartézských souřadnic na vámi vybrané a zpět. Dále ukažte, jak lze ve vašich souřadnicích obecně určit vzdálenost dvou bodů.

• Kolik aut musí projet za jednotku času po silnici či dálnici, aby byla silnice pod auty suchá, pokud prší?
• Kolik aut musí projet za jednotku času po silnici či dálnici, aby na silnici nebyl žádný sníh a led, pokud sněží? Teplota dopadajícího sněhu je konstantní a srovnatelná s okolím, několik málo $\jd {K}$ pod $0\;\mathrm{\C }$.

Uvažujte, že prší nebo sněží nějaký konstantní objem vody na jednotku plochy za jednotku času.

Vypálili jste na impa z plazmové pušky, která střílí stabilní shluk částic s rovnoměrným rozdělením podélné rychlostí v intervalu $\langle v_0, \; v_0+\delta v\rangle$ (příčná rychlost je nulová) a s celkovou energií $E_0$. Hlaveň pušky má průřez $S$ a pulz trvá nekonečně krátký čas. Jak daleko musí imp stát, aby se mu nic nestalo? Předpokládejte, že jeho kůže bez problémů uchladí na malém prostoru tepelný tok $q$.

Příklad byl mírně pozměněn, neboť jsme neodhadli jeho náročnost.

Spočítejte účinnost procesoru, kterou definujeme pomocí snížení entropie dat a tepelného výkonu. Veškeré potřebné údaje si dohledejte.

Známe to všichni, krajíc chleba namazaný medem nebo marmeládou, zakousneme se a najednou je kapka mazadla na ruce a jsme za prasata. Spočítejte, jak závisí pravděpodobnost, že v krajíci bude díra skrz naskrz, v závislosti na jeho tloušťce. Model kynutí těsta necháme na vás. (Třeba rovnoměrně rozmístěné bubliny s exponenciálně rozděleným poloměrem je dobrý model.)

Mějme nádobu, která je pomyslně rozdělena na dvě shodné disjunktní oblasti $\mathrm{A}$ a $\mathrm{B}$. V nádobě je $n$ částic, z nichž se každá nachází s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{A}$ a s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{B}$. Určete, s jakou pravděpodobností bude v části $\mathrm{A}$ $n_{\mathrm{A}}=0,\! 6 n$, resp. $n_{\mathrm{A}}=1+n/2$ částic. Řešte pro $n=10$ a $n=N_{\mathrm{A}}$, kde $N_{\mathrm{A}}≈6 \cdot 10^{23}$ je Avogadrova konstanta.

Pták Fykosák jednoho dne vypil 2 dcl vody. Uběhlo milénium a všechna voda na Zemi se stihla mezitím promíchat. Když teď pták znovu vypije 2 dcl vody, kolik molekul z vody, co vypil právě před miléniem, v nich bude?