Vyhledávání úloh podle oboru

Vraťte se zpátky do 18. století do doby, kdy ještě nebyla známa konstanta v Newtonově gravitačním zákoně ani vzdálenost Země od Slunce či jiných planet. V té době Edmond Halley (astronom, který poznal, že kometa pozorovaná v roce 1682 je stejná jako ta v letech 1456, 1531 a 1607) navrhl určit vzdálenost Slunce od Země proměřením přechodu planety Venuše přes sluneční kotouč. Přechody Venuše se bohužel odehrávají nepravidelně. Přicházejí v párech po osmi letech, ale potom k nim nedochází sto let i déle a za Halleyho života nedošlo k žádnému.

Myšlenka nezapadla, doutnala, a když se blížil další přechod v roce 1761, vědecký svět byl připraven. Vědci se vydali do sta míst na světě (mj. na Sibiř, do Číny, Jižní Afriky, Indonésie). Byl to první vědecký podnik v historii založený na mezinárodní spolupráci.

Po návratu měřičů se dospělo k závěru, že měření přechodu bylo v podstatě nezdarem. Ironií je, že jedním z problémů byl příliš velký počet pozorování, která se často ukázala jako protikladná. Úspěšné měření Venušina přechodu naopak uskutečnil kapitán James Cook v roce 1769 z jednoho slunného vrchu na Tahiti. Po jeho návratu měli astronomové dostatek informací, aby vypočítali, že průměrná vzdálenost ze Země ke Slunci činí zhruba 150 miliónů kilometrů.

Na vás je, abyste tak jako Edmond Halley vymysleli, jak lze z měření přechodu Venuše určit vzdálenost Země od Slunce. Samozřejmě neznáte jiná než tehdejší data: poloměr Země a dobu oběhu Země a Venuše kolem Slunce z astronomických pozorování.

Určete, na které rovnoběžce se nachází vaše bydliště. Navrhněte co nejvíce metod a alespoň dvě realizujte.

Odhadněte, za jak dlouho se Apollo dostane na orbitu Měsíce, neplýtvá-li zbytečně palivem. Nezapomeňte uvést, jaké zjednodušující předpoklady jste při výpočtu provedli.

Ve sluneční soustavě se planety, které jsou ke Slunci blíže, pohybují rychleji než planety vzdálenější. V Galaxii se hvězdy blíže středu pohybují pomaleji než hvězdy vzdálenější. Zdůvodněte tento zdánlivý rozpor.

• Působením rychlých částic kosmického záření vznikají vysoko v atmosféře částice zvané mezony $\mu$. Tyto částice žijí po dobu $\tau = 2.10^{-6}$ s a pak se rozpadají na jiné částice. Typická rychlost vzniklých mezonů $\mu;$ je $v = 0,998\,\jd{c}$. Mezony $\mu$ tudíž urazí vzdálenost $v\tau = 600 \,\jd{m}$. Jak je tedy možné, že jsou detekovány na zemském povrchu, když vznikají ve výškách větších než $6 \,\jd{km}$? Tento paradox vysvětlete jak z hlediska soustavy spojené se zemským povrchem tak z hlediska soustavy spojené s mezonem $\mu$.

• Mějme raketu, která odstartuje ze Země k jedné vzdálené hvězdě. Po dosažení hvězdy se opět vrátí zpět na Zemi. Na své cestě se raketa pohybuje konstantní rychlostí $v$ blízkou rychlosti světla.

Užitím diletace času dostaneme, že z hlediska pozorovatele na Zemi půjdou pomaleji hodiny na raketě. Podle pozorovatele na raketě však půjdou pomaleji hodiny na Zemi. Tento paradox se nazývá paradoxem dvojčat (hodiny na raketě a na Zemi lze nahradit dvojčaty). Užitím Lorentzovy transformace ukažte, že ve skutečnosti oba pozorovatelé dojdou ke stejnému závěru. Určete, ve kterém případě je diletace času užita chybně, a vysvětlete proč.

• V mnohých knihách naleznete následující vysvětlení paradoxu dvojčat: Raketa není inerciální soustavou, neboť se alespoň

v některých fázích letu musí pohybovat se zrychlením, a proto nelze užít STR. Přeformulujte tedy paradox dvojčat tak, aby se vše odehrávalo v inerciálních systémech. (Nápověda: K přenosu informace lze užít například elektromagnetický signál).

Vaším úkolem je spočítat maximální možnou šířku pásu úplného i částečného zatmění Slunce. Je úplné zatmění pozorovatelné vždy, když se Měsíc dostane na spojnici Slunce a Země? Pro jednoduchost uvažujte, že se všechna tři tělesa pohybují v téže rovině (ekliptice). K výpočtu použijte následujících dat:

• vzdálenost Země od Slunce $r_{Z}$ kolísá mezi $147 093 860 \,\jd{km}$ a $152 101 870 \,\jd{km}$

• vzdálenost Měsíce od Země $r_{M}$ kolísá mezi $356 410 \,\jd{km}$ a $406 740 \,\jd{km}$
• poloměr Slunce je $R_{S}= 695 990 \,\jd{km}$

• poloměr Země je $R_{Z}= 6 378\,\jd{km}$
• poloměr Měsíce je $R_{M}= 1 738\,\jd{km}$

Vezmeme-li astronomické ročenky za posledních $100$ let, zjistíme, že slunečních zatmění je přibližně $1,5$krát více než zatmění měsíčních. Zkuste přijít na to, proč je tomu tak.

Špionážní družice létá okolo nepřátelské planety po kruhové dráze v rovníkové rovině. Doba jednoho oběhu je $T$, planeta má hustotu $ρ$. Na jak velké části povrchu planety může družice provádět špionáž?

Spočtěte, o kolik procent se bude lišit teplota na Zemi v periheliu, kdy je Země od Slunce vzdálena $r$, od teploty v aféliu, kdy je vzdálenost Země–Slunce $r(1+ε)$ nepatrně větší. Předpokládejte, že Země je dokonale černé těleso a v každém okamžiku je v rovnováze s okolím. Celkový vyzářený výkon je úměrný $σT^{4}$.

Spočtěte co nejpřesněji, jakou hmotnost má zemská atmosféra.