Vyhledávání úloh podle oboru

Vazebná energie molekuly fluoru je přibližně $37 \mathrm{kcal/mol}$. Pokud uvážíme dosah vazebných interakcí přibližně $3 \mathrm{\AA }$ od optimální vzdálenosti, jakou (průměrnou) silou musíme působit, abychom molekulu roztrhli? Spočítejte „tuhost“ molekuly fluoru, pokud by uprostřed tohoto rozmezí působila síla o velikosti této průměrné síly. Jaká by byla vibrační frekvence této molekuly? Srovnejte s experimentální hodnotou $916{,}6 \mathrm{cm^{-1}}$. ($4 \mathrm{b}$)

Zkuste pomocí Psi4 spočítat disociační křivku $\mathrm {F_2}$ a proložit ji v okolí minima parabolou. Jaká vám z ní tentokrát vyjde energie vibračních přechodů? ($3 \mathrm{b}$)

Máte dvě lahve alkoholu, které vám přišly přinejmenším podezřelé. Vzali jste je tedy do laboratoře a získali z nich následující Ramanova spektra. Pomocí programu Psi4 spočítejte, na jakých frekvencích jsou vibrační přechody molekul metanolu i etanolu, a na základě toho odhadněte, ve které lahvi je methanol a ve které ethanol. Můžete využít přibližné geometrie ethanolu a methanolu, které jsou součástí zadání na webu. ($3 \mathrm{b}$)

1. Na začátku seriálu jsme zmínili několik aproximací, které jsme udělali – jednak zafixování jader a jednak zanedbání relativistických efektů. Pro které prvky čekáte, že se budou elektrony nejvíce vzájemně ovlivňovat s pohybem jader a proč? A ve které části periodické tabulky si myslíte, že se nejvíce projeví relativistické efekty? Z jakého důvodu? $\(2 \mathrm{b}\)$
2. Celková energie molekuly vody, jak ji dostaneme z kvantově chemického výpočtu, je cca $-75 \mathrm{Ha}$. Energie uvolněná slučováním vodíku a kyslíku na vodu je $242 \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$. Pokud spočítáme energii reaktantů i produktů s chybou $1 \mathrm{\%}$, jaká bude chyba v určení reakční energie? Také zkuste najít nějakou analogii s měřením v reálném světě. (Například: „Zvážím se s pětikorunou a bez ní, abych určil její hmotnost.“) $\(3 \mathrm{b}\)$
3. Nainstalujte si program Psi4 a pokuste se spočítat, o kolik se liší energie lodičkové a (zkřížené) vaničkové konformace cyklohexanu. Můžete použít přiložené vstupní soubory s již optimalizovanou geometrií. Jak moc se liší výsledek od experimentální hodnoty $21 \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$? $\(2 \mathrm{b}\)$ $\\$ Poznámka: Pokud narazíte na problémy s programem Psi4, neváhejte se ozvat na email ${\href{mailto:mikulas@fykos.cz}{mikulas@fykos.cz}}$
   
4. Zkuste spočítat energii reakce pro chloraci benzenu $\ce{C}_{6}\ce{H}_{6} + \ce{Cl}_{2} \Rightarrow \ce{C}_{6}\ce{H}_{5}\ce{Cl} + \ce{HCl}$. Srovnejte s experimentální hodnotou $-134 \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$. Můžete využít geometrii molekuly benzenu. $\(3 \mathrm{b}\)$ $\\$ Bonus: Vyberte svoji oblíbenou (nebo jakoukoliv jinou) chemickou reakci a spočítejte její energii. $\(\mathrm{až} +3 \mathrm{b}\)$

1. Podobně jako v seriálu vytvořte pomocí Hückelovy metody matici hamiltoniánu pro molekulu cyklobutadienu a ověřte, že její vlastní čísla jsou $\alpha +2\beta $, $\alpha $, $\alpha $, $\alpha -2\beta $. Načrtněte do diagramu, jaké jsou energie vzniklých orbitalů a jak by je obsadily elektrony. $(4~b)$
   Bonus: Jaký je zásadní rozdíl v charakteru těchto orbitalů a jejich obsazení oproti molekule benzenu, kterou jsme si ukázali v seriálu? Jaké to má pro molekulu cyklobutadienu důsledky? $(2~b)$
   
2. Zkuste se vrátit k molekule betakarotenu a znovu spočítat, na jaké vlnové délce by měla absorbovat, tentokrát pomocí Hückelovy metody. Kolik by musel být parametr $\beta $, aby vyšla experimentální hodnota?
   Alternativa: Pokud narazíte na problém s diagonalizací hamiltoniánu, proveďte úlohu s molekulou hexa-1,3,5-trienu. Experimentální hodnota absorpce je v tomto případě na vlnové délce $250 \mathrm{nm}$. $(4~b)$
   
3. Co se stane s molekulou (stačí taková, která má jen jednoduché vazby), pokud pomocí UV světla excitujeme elektron ze $\sigma $ do $\sigma ^\ast $ orbitalu? $(2~b)$

1. Najděte si molekulu betakarotenu a zkuste spočítat, jakou by měla mít barvu, respektive na jaké vlnové délce absorbuje. Použijte jednoduchý model nekonečné potenciálové jámy, ve které jsou „uvězněny“ $\pi $ elektrony z dvojných vazeb, tedy za každou dvojnou vazbu dva elektrony. Absorpce pak odpovídá takovému přechodu, že elektron přeskočí z nejvyšší obsazené hladiny na první neobsazenou. Srovnejte s experimentální hodnotou. Proč hodnota z našeho modelu nevychází tak, jak bychom chtěli? (5b)
   
2. Zkusme zlepšit náš model. Při studiu některých látek, především kovů či polovodičů, zavádíme efektivní hmotnost elektronu. Místo toho, abychom složitě popisovali prostředí, ve kterém se elektrony pohybují, se tváříme, že elektrony jsou lehčí nebo těžší než ve skutečnosti. Jakou by musely mít hmotnost, aby nám vyšla správná experimentální hodnota? Uveďte ji v násobcích hmotnosti elektronu. (2b)
   
3. Pokud vyrobíme mikroskopické kuličky (nanočástice) selenidu kademnatého $\ce {CdSe}$ o velikosti $2{,}34 \mathrm{nm}$. Rozzáří se po ozáření UV světlem jasně zelenou barvou na vlnové délce $536 \mathrm{nm}$. Když je zvětšíme na velikost $2{,}52 \mathrm{nm}$, posune se vlnová délka vyzařovaného světla do žluté oblasti s vlnovou délkou $570 \mathrm{nm}$. Jakou velikost kuliček bychom potřebovali, aby vyzařovaly oranžově na vlnové délce $590 \mathrm{nm}$? (3b)
   Nápověda: $\ce {CdSe}$ je polovodič, má tedy plně obsazený elektronový pás, pak (úzký!) zakázaný pás a nakonec prázdný vodivostní pás. Tedy musíme uvažovat, že vyzařovaný foton odpovídá přeskoku z vodivostního pásu, kde jsou zase stavy známé z nekonečné potenciálové jámy, do obsazeného pásu. Všechny energie vyzařovaných fotonů tedy budou posunuty o neznámou konstantní hodnotu odpovídající šířce zakázaného pásu.
   
   

Bonus: Nakonec pro ty, které by mrzelo, kdyby si nezaintegrovali – 1s orbital atomu vodíku má sféricky symetrickou vlnovou funkci s radiálním průběhem $\psi (r) = \frac {e^{-r/a_0}}{\sqrt {\pi }a_0^{3/2}}$, kde $a_0=\frac {4\pi \epsilon _0\hbar ^2}{me^2}$ je Bohrův poloměr. Protože orbitaly jakožto funkce tří prostorových proměnných by se nám špatně vykreslovaly, raději zobrazujeme oblast, ve které se bude elektron s velkou pravděpodobností vyskytovat. Jaký je poloměr sféry centrované na jádře, ve které se elektron bude vyskytovat s pravděpodobností $95 \mathrm{\%}$? (+2b)

Najděte si hodnotu Rydbergovy konstanty a určete, které spektrální čáry vodíku náleží do viditelného spektra. Tyto čáry jsou jediné, které mohl Rydberg k objevení svého vztahu použít, protože UV ani IR spektra ještě nebylo možné měřit. Jakou mají barvu a kterým přechodům v Bohrově modelu odpovídají? $(3 \mathrm{b})$

Spočítejte si svoji de Broglieho vlnovou délku. Jaká je tato hodnota ve srovnání s velikostí atomu, případně atomového jádra? $(3 \mathrm{b})$

Máme kyvetu s $10 \mathrm{ml}$ roztoku fluoresceinu ve vodě, do které svítíme argonovým laserem o vlnové délce $488 \mathrm{nm}$ a výkonu $10 \mathrm{W}$. Zároveň molekula fluoresceinu fluorescenčně vyzařuje na vlnové délce $521 \mathrm{nm}$ s kvantovým výtěžkem (podíl absorbovaných fotonů, které se vyzáří zpět) $95 \mathrm{\%}$. Pokud je počáteční teplota kyvety $20 \mathrm{\C }$, za jak dlouho se její obsah začne vařit? Předpokládejte, že kyveta je dokonale tepelně izolovaná, že paprsek se v ní plně absorbuje a že množství fluoresceinu je zanedbatelné z hlediska tepelné kapacity. $(4 \mathrm{b})$

Jak všichni dobře víme, na velmi malých rozměrech dobře funguje kvantová teorie pole. Na kosmických škálách se naopak projevuje především obecná teorie relativity. Vymyslete konzistentní teorii, která obě předchozí teorie sjednotí.

• Najděte v tabulkách nebo na internetu, jak se změní entalpie a Gibbsova energie při reakci

$$2\mathrm{H}_2 + \mathrm{O}_2 \longrightarrow 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}\, ,$$ kde jde o přeměnu plynů na plyn a odehrává se při standardních podmínkách. Vypočítejte také, jak se změní entropie při takovéto reakci. Výsledky udávejte vztažené na jeden mol.

• Pro fotonový plyn platí, že tok energie skrze plochu je dán vztahem

$$j=\frac{3}{4}\frac{k_{\mathrm{B}}^4 \pi^2}{45 \hbar^3 c^3}cT^4\, .$$ Dosaďte hodnoty konstant a porovnejte výsledek se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.

• Vypočítejte vnitřní energii a Gibbsovu energii fotonového plynu. Dále pomocí vnitřní energie vypočítejte závislost teploty fotonového plynu na objemu při adiabatickém rozpínaní, tedy při procesu s $\delta Q=0$.
  

Nápověda: Zákon pro adiabatický děj s ideálním plynem jsme odvodili v druhém dílu seriálu.

• Vezměme si fotonový plyn. Ukažte pro $\delta Q/T$, že pokud ho vyjádříme jako

$$\delta Q / T = f_{,T} \;\mathrm{d} T + f_{,V} \mathrm{d} V \, ,$$ tak funkce $f_{,T}$ a $f_{,V}$ splňují nutnou podmínku na existenci entropie, tedy že $$\frac{\partial f_{,T}(T, V)}{\partial V} = \frac{\partial f_{,V}(T, V)}{\partial T} $$

Možná jste někdy slyšeli o takzvaných Planckových jednotkách, tj. jednotkách vyjádřených na základě fundamentálních fyzikálních konstant – rychlosti světla $c≈3.00\cdot 10^{8}\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, gravitační konstanty $G=6.67\cdot 10^{-11}\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{kg}^{-1}\cdot \mathrm{s}^{-2}$ a redukované Planckovy konstanty $ħ=1.05\cdot 10^{-34}\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$. Takto bývá často zmiňován Planckův čas, Planckova délka a Planckova hmotnost. Co kdyby nás ale zajímala „Planckova tuhost pružiny“? Sestavte na základě rozměrové analýzy z $c$, $G$ a $ħ$ vzorec jednotky odpovídající tuhosti pružiny $[k]=\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Pro určení vzorce uvažujte, že neznámá a z rozměrové analýzy neurčitelná multiplikativní bezrozměrná konstanta je rovna 1.

• Jak bude vypadat spektrum otevřené struny na hmotnostní hladině $M^2 =2⁄α′$? Kolik máme možných stavů struny na této hladině?
• Pokud bychom uvažovali interakci tachyonu s jinými strunami, zjistili bychom, že ho můžeme popsat přibližně jako částici pohybující se v nějakém potenciálu. Uvažujme model struny, která je upevněna na nestabilní D-bráně. Odpovídající potenciál tachyonu je určen vztahem

$$V(\phi)=\frac{1}{3\alpha'}\frac{1}{2\phi _0}(\phi-\phi _0)^2\left (\phi + \frac{1}{2}\phi _0\right )\,,$$

kde $\alpha'$ a $φ_0$ jsou kladné konstanty. Roznásobte závorky a určete hmotnost tachyonu jako dvojnásobek koeficientu stojícího před $\phi^2$. Najděte minimum potenciálu $\widetilde{\phi}$ a ukažte, že provedeme-li v potenciálu záměnu $\phi \rightarrow \widetilde{\phi}+\phi$ (tj. rozvíjíme teorii kolem minima tachyonového potenciálu), dostaneme po roznásobení a odečtení koeficientu před $\phi^2$ kladnou hmotnost tachyonu. Záporná hmotnost tedy ukazuje na nestabilitu D-brány a ve stabilní konfiguraci, kdy D-brána vymizí (minimum potenciálu), již hmotnost není záporná.

• Teorie superstrun umožňuje popis fermionů. Pro jejich popis je však potřeba antikomutujících veličin. Pro ty se zavede namísto komutátoru antikomutátor vztahem

$$\{A,B\}=AB + BA$$

Najděte takové dvě $2\times 2$ matice $a$ a $b$, které splňují $\{b,\,b\} = 1$, $\{b,\,b\} = 1$ a $\{a,\,b\} = 0$.

Uvažujme otevřené struny a omezme se jen na tři prostorové rozměry. Namalujte, jak vypadá

• struna volně se pohybující v časoprostoru,
• struna připevněná oběma konci k D2-bráně,
• struna natažená mezi D2-bránou a D1-bránou.

Jaké jsou možnosti, kde mohou struny končit v případě konfigurace tří rovnoběžných D2-brán?

Vyberte si jednu z funkcí $\mathcal{P}_{\mu}^{\tau}$ nebo $\mathcal{P}_{\mu}^{\sigma}$ definovanou v první části seriálu a najděte její explicitní tvar (tj. přímo závislost na $\dot{X}^{\mu}$ a $X'^{\mu}$). Ukažte, že podmínky $\vect{X}'\cdot \dot{\vect{X}}=0$ a $|\dot{\vect{X}}|^2=-|\vect{X}'|^2$ opravdu vedou na zjednodušení uvedené v textu.

Najděte spektrum energií harmonického oscilátoru.

• Energie harmonického oscilátoru je dána Hamiltoniánem

$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2\,.$$ Druhý člen je očividně potenciální energií zatímco první dává po dosazení $\hat{p}=m\hat{v}$ kinetickou energii. Definujme lineární kombinaci $\hat{\alpha}=a\hat{x} + \;\mathrm{i} b\hat{p}$. Určete reálné konstanty $a$ a $b$, tak aby měl Hamiltonián tvar $$\hat{H}=\hbar \omega \left(\hat{\alpha} ^{\dagger}\hat{\alpha} + \frac{1}{2}\right)\,,$$ kde $\hat{\alpha} ^{\dagger}$ je komplexní sdružení $\hat{\alpha}$.

• Ukažte ze znalosti kanonických komutačních relací pro $\hat{x}$ a $\hat{p}$, že platí

$$\left[\hat{\alpha},\hat{\alpha}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ^{\dagger},\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ,\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=1$$

• Ve spektru oscilátoru bude určitě stav s minimální energií odpovídající nejmenšímu možnému kmitání. Označme ho $|0\rangle$. Tento stav musí splňovat $\alpha |0\rangle =0$. Ukažte, že je jeho energie rovna $\hbar\omega/2$, tj. $\hat{H}|0\rangle=\hbar\omega/2|0\rangle$. Dále ověřte, že pokud by bylo $\alpha |0\rangle \neq 0$, pak máme spor s tím, že má $|0\rangle$ minimální energii, tj. $\hat{H}\alpha |0\rangle=E\alpha|0\rangle$, kde nyní je $E<\hbar\omega/2$. Všechny vlastní stavy Hamiltoniánu můžeme potom psát jako $\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle$ pro $n=0,1,2,\dots$ Najděte energie těchto stavů, tj. čísla $E_n$ taková, že $\hat{H}\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle=E_n\left(\alpha^{\dagger}\right)^n|0\rangle$

Tip Použijte komutační relace pro $\hat{\alpha}^{\dagger}$ a $\hat{\alpha}$ .