Vyhledávání úloh podle oboru

Uvažujme sériově zapojený obvod s rezistorem o odporu $R$, cívkou a kondenzátorem s kapacitou $C$. Sériově k těmto prvkům jsou zapojeny zdroje střídavého napětí vždy se stejnou amplitudou $U$, které se ovšem liší svou frekvencí, která je $n \omega _0$, kde $n$ je přirozené číslo. Jaká může být frekvence $\omega _0$, abychom dokázali najít cívku s takovou indukčností $L$, aby na rezistoru byla napětí s frekvencí jinou než $N \omega _0$ potlačena alespoň o $90 \mathrm{\%}$? $N$ je předem známé přirozené číslo (tj. hodnota $\omega _0$ na něm může záviset) a napětí s frekvencí $N \omega _0$ naopak více než o $90 \mathrm{\%}$ potlačit nechceme.

Ve vzdálenosti $L$ od rozlehlého stínítka se nachází laser. Ten až do času $t=0 \mathrm{s}$ svítí na stínítko tak, že vzdálenost skvrny od laseru je $R > L$. Náhle začneme laserem otáčet rovnoměrnou úhlovou rychlostí $\omega $, přičemž vzdálenost skvrny na stínítku od laseru se zmenšuje na $L$ a následně zpět na $R$. Vyjádřete rychlost této skvrny vzhľadom na stínítko. Může překročit rychlost světla ve vakuu $c$ nebo být dokonce nekonečná? Jak (kvalitativně) tato rychlost závisí na poloze skvrny na stínítku? Celá aparatura se nachází ve vakuu.

Karel jezdí výtahem v budově, která má přízemí a nad ním dalších $12$ pater, přičemž výška jednoho patra je $h=3{,}0 \mathrm{m}$. Uvažujte, že výtah během své jízdy polovinu doby zrychluje a druhou polovinu doby zpomaluje konstantním zrychlením $a=1{,}0 \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. S $50 \mathrm{\%}$ pravděpodobností výtah stojí v přízemí a zbytek pravděpodobnosti je rovnoměrně rozdělený mezi ostatní patra. Jaká je očekávaná doba čekání na výtah v jednotlivých patrech budovy? Zanedbejte čas otevírání dveří.

Bonus: Mějme $2$ výtahy opět v dvanáctipatrové budově. Jeden výtah bude odvolávaný do přízemí. Do jakého patra bychom měli posílat druhý, abychom minimalizovali průměrnou dobu čekání? Předpokládejte analogicky, že polovina jízd bude začínat v přízemí a druhá polovina s rovnoměrnou pravděpodobností v libovolném z dalších pater.

Jednou kladně ionizovaný atom xenonu vyletěl rychlostí $v=7 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ze středu velké válcové cívky a začal se pohybovat homogenním magnetickým polem v rovině kolmé na magnetické siločáry. V tu chvíli cívku odpojíme od zdroje, takže její indukce začne exponenciálně klesat podle vztahu $\f {B}{t}=B_0\eu ^{-\Omega t}$, kde $B_0=1,1 \cdot 10^{-4} \mathrm{T}$ a $\Omega =600 \mathrm{s^{-1}}$. S jakou odchylkou od původního směru se atom bude pohybovat po ustálení? Nápověda:: V úloze se nebojte použít vhodnou aproximaci, nebo ji zkuste řešit numericky.

Na úpatí hory tvaru dokonalého kužele s vrcholovým úhlem $\alpha = 90 \mathrm{\dg }$ stojí město. Přesně na opačné straně hory ve stejné nadmořské výšce je železniční stanice, proto se radní z města rozhodli pro stavbu silnice ke stanici. Můžou postavit buď tunel, nebo cestu vést po povrchu hory. Jaký může být maximální poměr ceny za kilometr tunelu ku ceně za kilometr silnice, aby byla stavba tunelu levnější? Silnici lze vést libovolnou trasou po povrchu hory.

Postavili jsme malou raketu s hmotností $m_0 = 3 \mathrm{kg}$, z níž $70 \mathrm{\%}$ tvoří palivo. Výtoková rychlost spalin je $u = 200 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a jejich hmotnostní tok je $R = 0,1 \mathrm{kg\cdot s^{-1}}$. Raketa je vybavena stabilizačními prvky, takže se nevychyluje z dráhy a startuje z klidu kolmo vzhůru. Předpokládejte, že odporová síla vzduchu je přímo úměrná rychlosti, $F\_o = -bv$, kde $b = 0,05 \mathrm{kg\cdot s^{-1}}$, $v$ je rychlost rakety a znaménko minus znamená, že síla působí proti směru pohybu. V jaké výšce nad povrchem se bude raketa nacházet v čase $T = 25 \mathrm{s}$ od zažehnutí motoru?

Můžeme se setkat s neoficiálním výkladem, že červená, modrá a bílá barva na české vlajce symbolizují krev, oblohu (tedy vzduch) a čistotu. Najděte polohu těžiště takto doslovně interpretované vlajky, přičemž uvažujte, že čistota je nehmotná. Poměr stran je $3:2$ a rozhraní všech tří částí se nachází přesně ve středu. Hustoty krve a vzduchu si vyhledejte.

Bonus: Pokúste sa čo najpresnejšie spočítať polohu ťažiska slovenskej vlajky. Môžete použiť rôzne aproximácie.

Blízko pobřeží je rychlost mořských vln ovlivněna přítomností dna. Předpokládejte, že rychlost vln $v$ je funkcí tíhového zrychlení $g$ a hloubky moře $h$. Platí $v = C g^\alpha h^\beta $. Určete pomocí rozměrové analýzy rychlost vln v závislosti na hloubce vody. Číslo $C$ je bezrozměrná konstanta, kterou touto metodou určit nedokážeme.

Kromě rychlosti vln ale koupajícího se Jindru ještě zajímá, z jakého směru k němu vlny dorazí. Definujme souřadnicovou soustavu, ve které hladina vody leží v rovině $xy$. Linie pobřeží má rovnici $y = 0$, oceán leží v polorovině $y > 0$. Hloubka vody $h$ je funkcí vzálenosti od pobřeží $h = \gamma y$, kde $\gamma = konst. $. Na širém oceánu, kde je rychlost vln $c$ konstantní (není ovlivněna hloubkou), postupují rovinné vlny, jejichž čela svírají s osou $x$ úhel $\theta _0$. Najděte diferenciální rovnici \[\begin{equation*} \der {y}{x} = \f {f}{y} \end {equation*}\] popisující tvar čela vlny v blízkosti pobřeží, ale nepokoušejte se ji řešit, není vůbec triviální. Spočítejte, pod jakým úhlem narážejí čela vln na pobřeží.

Bonus: Vyřešte diferenciální rovnici a najděte tvar čel vln v blízkosti pobřeží.

Jaký by byl statický koeficient tření mezi tělesem a podložkou, pokud bychom uvažovali model, ve kterém jsou na povrchu obou těles klínky o vrcholovém úhlu $\alpha $ a výšce $d$? Zkuste porovnat vaše výsledky a reálné koeficienty tření.

Budeme modelovat kmity v molekule oxidu uhličitého. Jedná se o lineární molekulu s jedním atomem uhlíku mezi dvěma atomy kyslíku, ležícími společně na jedné přímce. Uvažujme pouze kmity podél této přímky. Předpokládejme, že pro malé výchylky lze molekulu modelovat jako spojení uhlíkového atomu s každým z kyslíkových pomocí pružin o tuhosti $k$. Atom uhlíku má hmotnost $M$, hmotnost kyslíkového atomu je $m$.

Sestavte rovnice určující síly, které působí na atomy při malých výchylkách podél osy uvažované molekuly. Ta je symetrická vůči záměně některých atomů. Vyjádřete tuto symetrii pomocí matice působící na vámi definovaný vektor výchylek. Dále určete vlastní vektory a vlastní čísla této matice. Takováto symetrie však není kompletní – vysvětlete, které stupně volnosti nezahrnuje.

Dále sestrojte maticovou rovnici popisující kmity systému. Dosazením vlastních vektorů z matice symetrie, které rozšíříte o symetrií neomezené stupně volnosti, určete normální mody systému. Dále spočítejte jejich úhlovou rychlost/frekvenci a načrtněte směry oscilací. Jaké další mody (stále pouze ve směru osy molekuly) by systém mohl obsahovat? Určete frekvenci a směr pro každý mod, jejž se vám podaří nalézt.