Vyhledávání úloh podle oboru

Představte si, že by Země měla tvar krychle. Udržela by si takový tvar? Případně jak asi dlouho by si ho mohla udržet? Na čem by to záviselo? Jak by se na ní žilo? Co by se dělo lidem jdoucím po jejím obvodu – jakou gravitační sílu by pociťovali?

Karel se rozhodl zahodit svůj sešit matematické analýzy na Slunce. Poradíte mu, jakou minimální rychlost sešitu musí udělit, aby sešit na Slunce dopadl? Pro jednoduchost zanedbejte odporové síly, Zemi a Slunce považujte za hmotné body, sešit vypouštíme ze vzdálenosti $R_{Z}=6378\;\mathrm{km}$ od hmotného bodu symbolizujícího Zemi, vůči kterému je sešit v klidu a Země obíhá Slunce po dokonalé kružnici. Konstanty, které se vám budou hodit: $κ=6,67\cdot 10^{-11}\;\mathrm{N\cdot m\cdot kg}^{-2}$, $M_{S}=2,0\cdot 10^{30}\;\mathrm{kg}$, $M_{Z}=6,0\cdot 10^{24}\;\mathrm{kg}$, $a=1\;\mathrm{AU}=150\cdot 10^{9}\,\jd{m}$.

Titan – družice Saturnu – je mrazivý svět (povrchová teplota asi $94\, \jd{K}$) s mohutnou dusíkovou atmosférou, s ledovým povrchem a uhlovodíkovými jezery. Průměr Titanu je $5\,150\, \jd{km}$, hmotnost je $1/45$ hmotnosti Země, tloušťka jeho atmosféry je $200\, \jd{km}$ a tlak na jeho povrchu je $1,\!5$ atmosféry.

Na základě předložených údajů určete gravitační zrychlení na povrchu a odhadněte hustotu atmosféry. Srovnáním s parametry ptáků v pozemských podmínkách rozhodněte, zda by opeřený člověk mohl na Titanu létat.

1. Jaké by musely nastat podmínky, aby Galileův pokus nevyšel? Šikmá věž v Pise je vysoká $h =55\, \jd{m}$, předpokládejte, že obě koule mají poloměr $R = 8\, \jd{cm}$ a že jedna koule je vyrobena z olova o hustotě $ρ = 11300\, \jd{kg\cdot m^{ - 3}}$. Jakou hustotu by musela mít druhá koule, aby rozdíl v časech dopadu obou koulí byl větší než $ΔT = 0,3\, \jd{s}$?

1. S jakou přesností ověřuje původní Eötvösovo měření rovnosti poměru gravitační a setrvačné hmotnosti pro neutrony a protony, pokud ve dřevě tvoří neutrony 50 procent hmotnosti, zatímco v platině 60 procent hmotnosti? Zanedbejte hmotnost elektronů a vazebné energie.

1. Ověřte užívaný předpoklad o tom, že v Budapešti je $g_{s}$ v porovnání s $g$ zanedbatelné.

Příliv a odliv jsou způsobeny slapovými silami, tj. především gravitační silou Měsíce. Příliv se opakuje každých 12 hodin a 25 minut, nicméně na zeměkouli pozorujeme vždy dva přílivy na opačných stranách zeměkoule. Tzn. jeden příliv oběhne Zemi za dvojnásobek doby, tj. asi 25 hodin. Tudíž na rovníku o délce $40 000\,\jd{ km}$ se příliv musí pohybovat přibližně rychlostí $1 600\,\jd{ km ⁄ h}$. To je dokonce více než rychlost zvuku ve vzduchu.

Ze zkušenosti však víme, že voda v moři touto rychlostí neproudí, neboť lodě nám vozí banány z Kostariky atd. Je tedy nějaká chyba ve výpočtu, nebo je potřeba výsledek interpretovat jinak?

Navrhněte několik metod ke stanovení (odhadu) hmotnosti Slunce, dostatečně je vysvětlete a vypočtěte podle nich hmotnost naší nejbližší hvězdy.

Krom programu TriHvezdy.xls. Může se vám hodit přečíst již zmíněný dokument Úvod do programování. Díky němu budete určitě schopni stáhnout a přeložit program Planeta.pas, TriHvezdy.pas. Cvičením a přípravou na úlohy je tyto programy pochopit a lehce si s nimi pohrát, zkusit si do nich „zašťourat“ či je lehce poupravit.

• Úkolem prvním je obohatit alespoň dva programy o něco svého nebo je upravit podle svého. Například nejrůzněji pozměňte počáteční podmínky a hmotnosti. Nebo k systému přidejte další planetu či další hvězdu. Také můžete vyzkoušet pozměnit gravitační zákon a počítat se silou $F=A⁄R+B⁄R$, kde $A$ a $B$ jsou pevně zvolené konstanty apod.
• Uvažujte dvě stejně těžké hvězdy, které kolem sebe obíhají po kružnici. Po ose této kružnice se k nim začne náhle přibližovat hvězda třetí, která má na začátku stejnou rychlost, jakou se pohybují hvězdy obíhající, a rovněž sdílí i jejich hmotnost. Počítačově nasimulujte, co se bude dít.

Jako řešení obou úloh nám prosím zašlete obrázky s bohatým komentářem. Uveďte alespoň stručné vysvětlení, co to na těch obrázcích je. Dále, jakým způsobem jste při výpočtu postupovali a pomocí kterého výpočetního systému jste jej provedli.

V pátek 14. ledna 2005 na povrchu Titanu hladce přistála sonda Huygens, pojmenovaná po objeviteli Titanu. Mateřská sonda Cassini ji nesla k Saturnu 7 let. Jedná se dosud o nejvzdálenější přistání umělé sondy v dějinách.

Přistávací modul o čisté hmotnosti (bez paliva) $m$, vybavený reaktivním motorem, se vznášel v klidu nad povrchem měsíce (gravitační zrychlení je zde $g)$. Měl k dispozici palivo o hmotnosti $M$ a zásobu energie o velikosti $E_{0}$, kterou využíval k urychlování paliva (rychlost a množství paliva vypuzovaného z motoru lze libovolně měnit). Jaká je maximální doba, po kterou se sonda mohla vznášet v konstantní výšce? Poraďte řídícímu středisku, jakým způsobem by mělo naprogramovat rychlost a množství vypuzovaného paliva, aby této maximální doby dosáhli.

<h3>Hluboký vesmír, 2224</h3>

Federace dostala zprávu, že v sektoru 0056 dochází ke shlukování tajemné hmoty s podivuhodnými vlastnostmi. Hmota je temná, neboť vůbec neinteraguje s elektromagnetickým zářením, její částice interagují pouze gravitačně. Federace tudíž vyslala malou dvojčlennou vědeckou loď na průzkum. Během cesty se však porouchal počítač a loď narazila do asteroidu, což ji vychýlilo z kurzu.

Posádce se povedlo nouzově přistát na neznámé planetě třídy M. Během samovolného pádu se zahříval trup lodi vlivem kontaktu s atmosférou. Z rychlosti pádu určila posádka gravitační zrychlení na planetě 0,5$g$.

Planetu pokrývaly hlavně lesy s neuvěřitelně vysokými stromy. Trikorderový scan určil, že se velmi podobají listnatým stromům na Zemi a dosahují největší možné výšky. Ačkoli se chlubily listím, měly stejné šišky jako pozemské jehličnany, včetně struktury a funkce.

Při dalším průzkumu planety narazili členové posádky na humanoidy, kteří obývali stromy a mohli by je transportovat do horních pater lesa, odkud by šel poslat nouzový signál. Tamější humanoidi používali k vysílání signálů barevné kamínky, které propouští světla různých barev, a když se světla jednotlivých kamínků zkombinují, dávají další barvy.

Po vyslání signálu z výšky stromu brzy dorazila vesmírná loď USS Odyssey a vyzvedla trosečníky. Ti pak do 16. října 2006 poslali závěry z mise velitelství hvězdné flotily na Zemi.

Tajemná hmota je homogenní a izotropní oblak plynu na počátku v naprostém klidu. Tento oblak o celkové hmotnosti $M$ má přesně tvar koule. Zjistěte, jak se (lokálně) v objemu oblaku bude měnit hustota při gravitačním kolapsu. Okomentujte rychlost hroucení v okamžiku, kdy bude všechna hmota těsně před shroucením do jednoho bodu.

Věříte, že průměrná hustota Saturnu je menší než hustota vody?

Sami se můžete na Saturn podívat v dalekohledu. Kromě prstence uvidíte kolem planety několik měsíců, pokud nebudou zrovna v zákrytu. (V takovém případě byste si např. na měsíc Titan museli počkat nejdéle 6 hodin, kolik trvá jeho přechod přes kotouč planety.) Můžete zjistit, že Titan oběhne planetu jednou za 16 dní. Dokážete z pozorování měsíce Titanu určit průměrnou hustotu Saturnu? Pokud ne, zdůvodněte, pokud ano, vypočtěte ji a přesvědčíte se o jedné zajímavosti.