Vyhledávání úloh podle oboru

Tři planetky o stejné hmotnosti $M=10^{26}\; \textrm{g}$ jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně $l=100\; \textrm{Gm}$ [gigametry]. Nemajíce počáteční rychlosti nezbývá jim než padat vstříc jisté záhubě. Určete, za jak dlouho se srazí (rozměry planetek zanedbejte).

Chceme-li demonstrovat metodu řešení soustavy rovnic na našem skokanovi, budeme muset přidat další podmínku: dejme tomu, že první dopad na prkno se mu zdál příliš tvrdý; rozhodl se tedy rozkývat prkno natolik (změnit amplitudu kmitů), aby druhá srážka s prknem proběhla se zanedbatelnou vzájemnou rychlostí. Tedy jak hodnota Funkce, tak Derivace (uvedená v minulém díle) byla v okamžik srážky rovna nule. Vašim úkolem je najít potřebnou amplitudu $A_{n}$ a dobu druhého skoku $T_{n}$ (odráží se opět dole).

Nabitá částice vstupuje do prostředí, ve kterém na ni působí odporová síla. Směr této síly je opačný, než směr rychlosti částice, a její velikost je rychlosti přímo úměrná. Než se částice zastaví, urazí v prostředí dráhu $l_{1}=10\;\mathrm{cm}$. Je-li v prostředí navíc homogenní magnetické pole kolmé na směr rychlosti částice, pak se částice zastaví ve vzdálenosti $l_{2}=6\;\mathrm{cm}$ od místa, kde do prostředí vstoupila. V jaké vzdálenosti $l_{3}$ od místa vstupu do prostředí se částice zastaví, když bude magnetické pole dvakrát menší?

Dřevěný válec o poloměru $R$ a hmotnosti $m$ se valil po podlaze rychlostí $v$ do okamžiku, kdy se zarazil o zeď. O jaký úhel se ještě válec pootočí, než se úplně zastaví? Koeficient tření mezi válcem a stěnou resp. podlahou je $μ$.

Malý Bobeš přitáhl pod kopec sáňky. Hledí na jeho vrchol, který je o $h$ metrů výše než on a vzdálený (vodorovně) $l$ metrů. Těžké sáňky o hmotnosti $m$ drhnou na čerstvém sněhu s koeficientem tření $f$. Přemýšlí, při jakém tvaru svahu by se dostal nahoru s vynaložením nejmenší práce. Co mu poradíte (dřív než tam zmrzne, filosof jeden)? Zkuste tuto práci pro zvolený tvar svahu také vypočítat.

Vašim milovaným strýčkem vám byl zadán úkol zjistit, zda jeho památeční rodinná lžička jest skutečně z ryzího hliníku. Vaše experimentální vybavení je však poněkud skromné: kromě uvedené lžíce dostanete k dispozici závaží o známé hmotnosti, dlouhé pravítko, provázek a dva hřebíky, které můžete zatlouct do zárubně dveří. Navíc zde ještě stojí kbelík plný vody. Navrhněte, výpočty podložte a hlavně proveďte měření, při kterém co nejpřesněji s pomocí jmenovaných pomůcek určíte hustotu materiálu lžičky. Uskutečněte dostatečné množství měření a na základě alespoň nějakých kalkulací také odhadněte věrohodnost vámi obdrženého výsledku.

Nápověda: Pokuste se srovnat hmotnost lžíce a závaží zavěšováním na provázek, který jste (s mírným průvisem) natáhli mezi zárubní dveří.

Liftboy v mrakodrapu si pověsil na stěnu svého výtahu přesné kyvadlové hodiny, aby viděl, kdy mu končí pracovní doba. Doba pohybu výtahu se zrychlením vzhůru a dolů je stejná. Zrychlení taktéž. Co si myslíte: bude mít chlapec pracovní dobu delší, kratší nebo stejnou?

Skokan na můstku se odrazí z prkna rychlostí $v=5\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$ kolmo vzhůru v okamžiku, kdy je deska maximálně prohnutá směrem dolů (o $A=30\;\mathrm{cm}$ pod rovnovážnou polohou). Za jak dlouho se opět s deskou srazí, pokud prkno kmitá s periodou $T=0,5\;\mathrm{s}$.

Srovnejte rychlost výpočtu v jednotlivých fázích (hrubé přibližování, dolaďování).

Hráč golfu řeší obtížný úkol. Musí se trefit do jamky ve vzdálenosti $d$ a přitom přestřelit překážku výšky $h$. Překážka překáží ve vzdálenosti $l$ (viz obrázek). Jakou rychlostí $\textbf{v}$ a pod jakým úhlem $α$ musí ten nešťastník odpálit míček? Jak se změní řešení, stojí-li před hráčem překážka, jejíž přední strana je ve vzdálenosti $l_{1}$ a zadní v $l_{2}?$

Mňága vyjíždí na kole rychlostí $15\; \textrm{km}\cdot\textrm{h}^{-1}$ z Postoloprt po přímé silnici do Kožuchova v $8$ hodin ráno a za jeho uchem se v tu chvíli probouzí pilná včela Žofka. Současně z cílové vísky vzdálené $40\; \textrm{km}$ jim naproti startuje Žďorp a nasazuje tempo $25\; \textrm{km}\cdot\textrm{h}^{-1}$. Do okamžiku, než se oba potkají, musí Žofka, která je přeci jen dvakrát rychlejší než Mňága, plnit úkol spojovatelky – donese zprávu od M. k Ž., otočí se a letí zpět. Kolik kilometrů takto nalétá do okamžiku setkání, pokud

• je bezvětří
• vane vítr od Kožuchova (podél silnice) o rychlosti $10\; \textrm{km}\cdot\textrm{h}^{-1}$
• vane vítr kolmo na silnici o stejné rychlosti.