Vyhledávání úloh podle oboru

V autoškole každého upozorňují na nebezpečí bočního větru při vjezdu ze závětří na otevřené prostranství. Zejména nebezpečné je to prý na dálnici při velké rychlosti.

Uvažujte konstatní rychlost bočního větru a spočtěte, jak se mění síla působící z boku v závislosti na rychlosti auta. Tvar auta předpokládejte takový, abyste úlohu dokázali vyřešit. Diskutujte vliv větru na následný pohyb vozidla.

• Dokažte, že těleso, které má v čase $t$ polohu $x = gt^{2}/2$ + $v_{0}t$ + $x_{0}$ se pohybuje se zrychlením $g$.

• Spočítejte $lim_{x→1}(x^{2} - 4x + 3)/(x^{2} + 2x - 3)$
• Nahraďte co nejlépe funkcí $f$ v okolí bodu $x = 0$ lineární funkcí, víte-li $f(0)=3$ a $f'(0)=-2$.

• Jaký je poměr výšky a průměru podstavy válce, který má při daném povrchu maximální objem?

Organizátor Fykosu dostal k narozeninám hračku, která je schematicky znázorněna na obr. Hračka, která slouží také jako záložka, se skládá z malého cínového kalíšku délky $l$ s cínovou kuličkou.

Poraďte organizátorovi, jakou rychlost má udělit kuličce, aby spadla do kalíšku. Uvažujme, že kalíšek je v klidu, je velmi malý v porovnání s délkou provázku a ztráty mechanické energie jsou minimální.

Bod, ve kterém má gravitační síla Země a Slunce stejnou velikost, je k Zemi blíže, než obíhá Měsíc. Proč tedy Měsíc neobíhá kolem Slunce?

Mějme volný hmotný bod, jehož klidová hmotnost je $m_{0}$ a který je v naší vztažné soustavě v klidu. V čase $t = 0$ začne na hmotný bod v našem systému působit konstantní urychlující síla o velikosti $F$.

• Vypočtěte časovou závislost rychlosti hmotného bodu v naší soustavě. Z této závislosti určete zrychlení hmotného bodu vůči našemu systému. (Řešte pouze pro časy $t>0$).

• V každém okamžiku můžeme s uvažovaným hmotným bodem spojit tzv. klidovou inerciální soustavu. Jak již název napovídá, jedná se o inerciální systém, ve kterém je hmotný bod v daném okamžiku v klidu. S jakým zrychlením se hmotný bod pohybuje ve svých klidových soustavách? Jak velká síla na něj v těchto systémech působí?

* Pomocí principu virtuálních prací nalezněte rovnovážnou polohu systému na obrázku, pokud navíc na konec tyče zavěsíme závaží o hmotnosti $M$.

* Dokažte tvrzení, které jsme při řešení pohybu Huygensova kyvadla použili pro pohyb po cykloidě, totiž, že velikost rychlosti pohybu vyšetřovaného bodu je rovna $2 \frac{\d z}{\d t}$.

Děla na bitevních lodích se nabíjejí následujícím způsobem: do hlavně se dá střela o hmotnosti $M$ a za ní určitý počet balíku s výbušninou (objem jednoho balíku je $V_{0})$, podle toho jak daleko chceme střílet. Kolikrát se zvětší dostřel takového děla, když nabijeme dvojnásobné množství výbušniny? Výbuch si představujte tak, že najednou se místo výbušniny objeví dvouatomový plyn o teplotě $T_{0}$ a tlaku $p_{0}$. Ráže děla je deset palců. Odpor vzduchu zanedbejte.

• Mojmír a Anežka sedí přesně proti sobě na točícím se kolotoči. Ještě je sníh a tak si Mojmír připravil sněhovou kouli a na kolotoči ji chce hodit po Anežce. Poraďte mu, jakou rychlostí a jakým směrem (vzhledem ke kolotoči) má kouli hodit, aby Anežku zasáhl. Údaje jsou: vzdálenost obou od osy $R=3\;\jd{m}$, úhlová rychlost kolotoče $\omega =10~\jd{rad. s^{-1}}$.

Poznámka: Úlohu řešte v inerciální soustavě a předpokládejte, že Mojmír je schopný vrhnout kouli dostatečně rychle ve vodorovném směru. Lze tedy předpokládat pohyb koule po vodorovné přímce. Úloha nemá samozřejmě jednoznačné řešení, pokuste se najít nějaké reálné (odhadněte, jakou asi rychlostí se hází sněhové koule).

• Načrtněte, narýsujte, odhadněte, vypočtěte, nasimulujte nebo nějak jinak zjistěte, jak bude v případě vašeho řešení části a) vypadat trajektorie koule v soustavě spojené s kolotočem a v nějakém bodě načrtněte zdánlivé síly, které na kouli působí.
• Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou nepravdivá, a proč?
  • Z pohledu inerciální soustavy působí na rotující hmotný bod odstředivá síla, která vyrovnává dostředivou sílu, a proto se hmotný bod pohybuje rovnoměrně.
  • Odstředivá síla je reakcí na dostředivou sílu, neboť má stejnou velikost a opačný směr.
  • Když v inerciálním systému náhle přestane na rovnoměrně rotující těleso působit dostředivá síla, bude těleso pokračovat v pohybu po tečné přímce. Z pohledu neinerciálního systému se bude v důsledku působení odstředivé síly pohybovat po radiální přímce.

Uvažujme družici letící k Jupiteru kolmou na jeho dráhu. Její rychlost ve velké vzdálenosti od Jupitera je $v_{0}=10~000 \;\jd{m.s^{-1}}$. Družice proletí za Jupiterem, její minimální vzdálenost od jeho středu je přitom rovna trojnásobku Jupiterova poloměru. Určete výsledný směr a velikost rychlosti sondy.

Nápověda: Nejprve proveďte přechod do soustavy, ve které je Jupiter v klidu. V této soustavě pak spočtěte úhel $\phi$, o který se při pohybu po hyperbole změní směr rychlosti.

Ze střechy 10 m vysokého domu pouštíme s nulovou počáteční rychlostí gumové míčky na chodník. Míčky jsou všechny stejně velké, mají však hodně rozdílné hmotnosti. Do jaké maximální výšky může některý z míčků vyskočit, máme-li jich k dispozici a) 2, b) $n$. Všechny rázy považujeme za dokonale pružné, veškeré odpory prostředí zanedbejme.