Vyhledávání úloh podle oboru

Sovětským generálům došla trpělivost. Už se nemohli dívat na provokace ze strany amerických imperialistů a stiskli červený knoflík na odpálení atomové bomby. Hned nato do řídicí místnosti přiběhl mladý poručík, který byl zodpovědný za propočítání dráhy letu, že si prý při výpočtech trochu přihnul ze stakanu vodky a důsledkem toho místo na New York míří raketa na spřátelenou Kubu.

Naštěstí je ale po ruce náhradní bomba, kterou by se ta původní dala sestřelit, čímž by se zamezilo rozkolu v socialistickém táboře. Původní raketa byla vystřelena rychlostí $v$ pod úhlem $α$. Jak mají sovětští experti nastavit úhel odpálení $β$ druhé rakety, aby tu první zasáhli, když mezi oběma odpaly je časová prodleva $T?$

Diskutujte, kdy se dá mír mezi spřátelenými zeměmi zachránit a kdy už ne. Odpor vzduchu zanedbejte. Všichni samozřejmě víte, že Země je placatá a její gravitační pole je homogenní.

Plavčík stojící ve vzdálenosti $D$ od břehu moře náhle spatří topící se bujnou blondýnku, která doplavala do vzdálenosti $D$ od břehu (viz obr. 1). Poraďte mu, jak se k ní má co nejrychleji dostat, pokud jeho rychlost běhu je $v$ a rychlost plavání $v/2$. Vzdálenost okraje moře od plavčíka závisí na úhlu $\varphi$ se spojnicí plavčíka a blondýnky následujícím předpisem $$d(\phi) = \frac{D}{3}\left( 8\cos{\phi}- {2\sqrt{16\cos^2{\phi}-12\cos{\phi} -3}}-3\right)$$

Mějme hmotný bod zavěšený na nehmotném a nepružném vlákně.

1. Zaveďte kartézskou souřadnicovou soustavu a v ní napište vazebnou podmínku pro hmotný bod.
2. Napište Lagrangeovy rovnice 1. druhu pro hmotný bod z předchozí části. Ukažte, že jsou ekvivalentní s rovnicí matematického kyvadla $\frac{\rm{d}^{2} \varphi}{\rm{d}t^{2}} + \frac{g}{l} \sin \varphi = 0$, kde $\varphi$ je úhlová výchylka z rovnovážné polohy.
3. Malé těleso je v klidu na vrcholu polokoule a začne klouzat dolů. Pomocí Lagrangeových rovnic 1. druhu určete, v jaké výšce se těleso odlepí od polokoule. ( Nápověda: Těleso se odlepí v okamžiku, kdy $\lambda = 0$.)

Řidič automobilu jedoucí rychlostí $v$ ve vzdálenosti $l$ náhle spatří, že jeho vůz směřuje doprostřed betonové zdi šířky $2d$. Součinitel klidového tření mezi pneumatikami a vozovkou je $f$. Poraďte řidiči, co má dělat, aby se vyhnul srážce se zdí. Rozhodněte, pro jakou velikost rychlosti je to ještě možné.

Napište a řešte pohybové rovnice hmotného bodu v tíhovém poli Země. Souřadnicovou soustavu orientujte tak, že osy $x$ a $y$ jsou vodorovné a osa $z$ míří vzhůru. Počáteční poloha hmotného bodu je $r_{0} = (0,0,h)$, počáteční rychlost je $v_{0} =(v_{0}\cosα,0,v_{0}\sinα)$.

Muž s puškou sedí v křesle, které se otáčí kolem svislé osy s frekvencí $f = 1\, \jd{Hz}$. Spolu s křeslem se otáčí terč, který je k němu pevně upevněn. V jistém okamžiku muž vystřelí kulku rychlostí $v = 300\, \jd{km \cdot h^{-1}}$ směrem od osy otáčení přesně do středu terče. V jakém místě prorazí kulka terč? Řešte jak z pohledu neinerciální, tak z pohledu inerciální vztažné soustavy. Vzdálenost hlavně od středu terče je $l=3\, \jd{m}$, odpor vzduchu zanedbejte.

Vyjádřete závislost rychlosti hmotného bodu na poloze v gravitačním poli Slunce.

Opuštěné ošklivé kačátko zůstalo osamocené uprostřed kruhového rybníku. Chce se dostat za svými sourozenci a matkou kachnou, ale na břehu rybníka na něj číhá liška. Kačátko je ještě mladé, proto dokáže vzlétnout pouze z pevné země. Určete maximální poměr rychlostí běhu lišky a plavání kačátka, aby stihlo doplavat na břeh a z něj lišce uletět. Poraďte také kačátku, jakou strategii má zvolit.

Malá hmotná kulička visí na konci nehmotného provázku a kmitá svojí vlastní frekvencí $f$ kolem rovnovážné polohy (viz obrázek). Jaká bude vlastní frekvence $f'$, pokud zkrátíme provázek na polovinu?

Poloha hmotného bodu v závislosti na čase v kartézské souřadnicové soustavě je popsána polohovým vektorem $r(t) =(R \cos\(\omega t\),R \sin\(\omega t\))$. Určete, jak závisí na čase vektory $v(t)$ a $a(t)$. Vypočítejte také tečnou, normálovou a binormálovou složku zrychlení.

• Kolo poloměru $R$ se valí bez prokluzování po přímé dráze rychlostí $v$. S kolem je pevně spojen bod ve vzdálenosti $r$ od středu. Určete jeho pohyb a rychlost jako funkce času v soustavě spojené se Zemí. Může být jeho rychlost v určitém okamžiku nulová?

Loď duchů pluje proti proudu, jehož rychlost je $u$. Duchové jsou líní a slabí na přihazování uhlí do kotlů. Poraďte jim, jaká má být rychlost lodi $v$ vůči vodě, aby loď měla minimální spotřebu uhlí. Předpokládejte, že spotřeba paliva je úměrná vykonané práci na danou dráhu. Jak se výsledek změní, pokud místo lodního šroubu bude loď poháněna řetězem uloženým na dně řeky?

Tři stejné družice obíhají po kružnici kolem malé planetky rychlostí $v$ tak, že jsou neustále ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka. Určete jejich hmotnost, která není zanedbatelná vůči hmotnosti planetky.