Vyhledávání úloh podle oboru

Ve vzdálenosti $L$ od rozlehlého stínítka se nachází laser. Ten až do času $t=0 \mathrm{s}$ svítí na stínítko tak, že vzdálenost skvrny od laseru je $R > L$. Náhle začneme laserem otáčet rovnoměrnou úhlovou rychlostí $\omega $, přičemž vzdálenost skvrny na stínítku od laseru se zmenšuje na $L$ a následně zpět na $R$. Vyjádřete rychlost této skvrny vzhľadom na stínítko. Může překročit rychlost světla ve vakuu $c$ nebo být dokonce nekonečná? Jak (kvalitativně) tato rychlost závisí na poloze skvrny na stínítku? Celá aparatura se nachází ve vakuu.

Protože naše Slunce jednou exploduje, bude potřeba zorganizovat stavbu evakuační lodi, v níž alespoň $0{,}000~001 \%$ lidstva získá možnost uniknout. Pro únik si vyberou hvězdu Tau Ceti vzdálenou $12 \mathrm{ly}$. Podaří se jim sestrojit motory, které za velmi krátký čas zrychlí loď na cestovní rychlost $v = 0{,}75 c$. Bohužel, právě v polovině vzdálenosti k cíli zpozorují jak explozi Slunce, tak explozi Tau Ceti. Jak dlouho před touto strašlivou scénou exploze nastaly v soustavě spojené s lodí? A kdy v soustavě, ve které jsou Slunce i Tau Ceti nehybné? Předpokládejte, že se vzdálenost mezi oběma hvězdami nemění.

Co kdyby přírodní zákony nebyly v celém vesmíru stejné? Co kdyby se nějak měnily s polohou? Zaměřme se na elektromagnetickou interakci. Jak minimálně by se konstanta v Coulombově zákonu musela měnit se vzdáleností, abychom to mohli pozorovat? Jak bychom to pozorovali?

Určete, jaký fázový posun $\Delta \Phi $ vznikne přechodem laserového svazku s vlnovou délkou $\lambda _0$ přes skleněnou desku s klidovou tloušťkou $h$ a s indexem lomu $n$, která se pohybuje ve směru svazku rovnoměrně rychlostí $v$, oproti případu, kdy je deska vůči zdroji i pozorovateli v klidu. Zajímá nás především první nenulový člen rozvoje podle rychlosti desky.

Starman se před odletem do kosmu na cestu k Marsu ve svém voze Tesla Roadster domluvil s Muskem, že jakmile bude ve vzdálenosti $r=5{,}0 \cdot 10^{6} \mathrm{km}$ od hmotného středu Země, tak na něj Musk zasvítí výkonným zeleným laserem. Vlnová délka laseru se vlivem gravitačního pole Země zvětší. Porovnejte tuto změnu vlnové délky s vlivem elektromagnetického Dopplerova jevu, vzdaluje-li se Starman od Muska rychlostí $v=4{,}0 \mathrm{km\cdot s^{-1}}$. Uvažujte, že oba jevy působí zvlášť.

Poštou jsme vám poslali dva provázky a LED diodu. Najděte doma dvě zrcátka a změřte gravitační vlny.

Nápověda: Použijte osciloskop.

Jak všichni dobře víme, na velmi malých rozměrech dobře funguje kvantová teorie pole. Na kosmických škálách se naopak projevuje především obecná teorie relativity. Vymyslete konzistentní teorii, která obě předchozí teorie sjednotí.

Z jaké výšky nad povrchem neutronové hvězdy bychom museli „upustit“ předmět, aby dopadl na její povrch v rychlosti $0,\! 1\; c$ (0,1 rychlosti světla). Naše neutronová hvězda má hmotnost 1,5násobek hmotnosti Slunce a průměr $d=10\;\mathrm{km}$. Zanedbejte atmosféru neutronové hvězdy a její rotaci. Zanedbejte relativistické korekce. Srovnejte ale jakého výsledku byste dosáhli, pokud by pád probíhal v homogenním gravitačním poli (které má intenzitu stejnou jako na povrchu planety) s tím, kdy pád probíhá v radiálním gravitačním poli.

Bonus: Uvažujte korekci na speciální teorii relativity v případě pádu v homogenním poli.

Superman a Flash se rozhodli, že si dají závod. Závod se koná v hlubokém vesmíru, protože na Zemi není dostatečně dlouhá rovná pláž. Flash, protože je pomalejší, startuje s délkovým náskokem $l$ před Supermanem. Flash v jednu chvíli vyběhne s konstantní rychlostí $v_\mathrm{F}$ srovnatelnou s rychlostí světla. Ve chvíli, kdy si Superman všimne, že Flash vyběhl, vyběhne také, a to konstantní rychlostí $v_\mathrm{S}>v_\mathrm{F}$. Za jak dlouho Superman Flashe dožene (z pohledu Supermana)? A za jak dlouho Flashe dožene Superman (z pohledu Flashe)? A byl vůbec závod spravedlivě odstartován, resp. dokázali byste vymyslet spravedlivější způsob (přičemž náskok $l$ má být ponechán)?

Lukáš posiloval a povedlo se mu vyrobit černou díru o hmotnosti $1\; \mathrm{kg}$. Protože nemá úplně v lásce kvantovou teorii pole na křivém pozadí, tak jeho díra nic nevyzařuje. Lukáš tuto díru upustí a ona začne kmitat uvnitř Země. Zkuste odhadnout, za jak dlouho se hmotnost díry zdvojnásobí. Je nebezpečné si doma pokoutně vyrábět černé díry?