Vyhledávání úloh podle oboru

Předtím než se začneme věnovat umění analytické mechaniky, je vhodné si zopakovat klasickou mechaniku na následující sérii příkladů.

1. Na vrcholu křišťálové koule dřepí homogenní kulička s velmi malým poloměrem. Kuličce udělíme libovolně malou rychlost a ta tak začne padat po povrchu koule. Kde se kulička odpojí od křišťálové koule? Uvažujte, že kulička neprokluzuje.
2. Místo koule z předchozí úlohy máme křišťálový paraboloid, daný rovnicí $y = c - ax^2$. Opět nás zajímá, kde se kulička od paraboloidu odpojí?
3. Cyklista odbočuje rychlostí $v$ na cestu kolmou k té, po které právě jede. Zatáčku projede po části kružnice s poloměrem $r$. Jak moc se musí cyklista do zatáčky naklonit? Moment setrvačnosti kol bicyklu můžete zanedbat, cyklistu nahraďte hmotným bodem.
   Bonus: Moment hybnosti kol nemůžete zanedbat.

Filip o hmotnosti $80 \mathrm{kg}$ vyskočil z letadla, které je ve výšce $h_1 =500 \mathrm{m}$ nad zemí. Ve stejném okamžiku z druhého letadla skočila Danka o hmotnosti $50 \mathrm{kg}$, ale z výšky $h_2 =569 \mathrm{m}$ nad zemí. Předpokládejme, že oba mají stejný odporový koeficient $C = 1{,}2$, Filipova plocha příčného průřezu je $S_f = 2{,}2 \mathrm{m^2}$ a Dančina je $S_d=1{,}5 \mathrm{m^2}$. Hustota vzduchu $\rho =1{,}205 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ se nemění s výškou. Za jakou dobu od výskoku bude Danka ve stejné výšce nad zemí jako Filip?

Pokud bychom jednou kolonizovali Měsíc, bylo by vhodné na něm používat schody? Představte si na Měsíci klesající schodiště s výškou schodu $h=15 \mathrm{cm}$ a délkou $d=25 \mathrm{cm}$. Odhadněte počet schodů $N$, které by přeletěl člověk, jestliže před vstupem na schody šel rychlostí $v=5{,}4 \mathrm{km\cdot h^{-1}}=1{,}5 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Tíhové zrychlení na povrchu Měsíce je šestkrát slabší než na povrchu Země.

Máme dva klíny o hmotnostech $m_1$, $m_2$ a úhel $\alpha $ (viz obrázek). Vypočítejte zrychlení levého klínu. Předpokládejte, že nikde nedochází ke tření.

Bonus: Uvažujte tření s koeficientem $f$.

Mějme kulatou kapku o poloměru $r_0$ tvořenou vodou o hustotě $\rho \_v$, která shodou okolností padá v mlze v homogenním tíhovém poli $g$. Uvažujme vhodnou mlhu se speciálními předpoklady. Tvoří ji vzduch o hustotě $\rho \_{vzd}$ a vodní kapičky s průměrnou hustotou $\rho \_r$, když uvážíme, že se rozptýlí zcela rovnoměrně. Jestliže kapka propadne nějakým objemem takové mlhy, vysbírá všechnu vodu, která se v tomto objemu nachází. Na místě zůstane pouze vzduch. Jaká je závislost hmotnosti kapky na vzdálenosti uražené v takovéto mlze?

Bonus: Řešte pohybové rovnice.

Máme válcovou skleničku, která má zboku u dna malou díru o ploše $S$. Tato nádoba je naplněná vodou, která samovolně přetéká do druhé nádoby, která je tentokrát již bez díry. Jaký tvar by musela mít druhá nádoba, aby v ní hladina rostla rovnoměrně? Předpokládejte, že má být válcově symetrická.

Bonus: Dna obou nádob jsou ve stejné výšce a nádoby jsou dírou spojené.

Představme si, že roztlačíme nějakou bakterii obvyklé velikosti na rychlost $v = 50 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ ve vodorovném směru a necháme ji volně letět ve vzduchu. Jakou vzdálenost zhruba urazí, než se zastaví?

Výsledek vás možná překvapí. Jak je tedy možné se infikovat tímto způsobem bakteriální infekcí? Diskutujte, proč je to možné i přes takový výsledek.

Na obrázku vidíte náčrt elipsy s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a několika vyznačenými body na ní. Uvažujte, že elipsa znázorňuje trajektorii nějakého hmotného bodu. Znázorněte do obrázku zrychlení, která působí na hmotný bod v jednotlivých vyznačených bodech dráhy pro dvě situace (jde o směry a vzájemné poměry zrychlení (které je větší/menší) v různých bodech v rámci jednoho náčrtu).

1. V ohnisku $F_1$ je umístěno hmotné těleso, kolem kterého hmotný bod obíhá. Uvažujeme, že platí 2. Keplerův zákon.
2. Těleso má konstantní velikost rychlosti, pouze se pohybuje po elipse.

Dělník si na stavbu mrakodrapu přinesl vak se skleněnkami, aby se s nimi mohl pochlubit svým kolegům. A co se nestane – vak se vysype a kuličky padají skrze lešení směrem k zemi. Lešení se skládá z jednotlivých poschodí o výšce $h$. Podlaha každého poschodí se skládá ze stejných mříží, ve kterých díry zaujímají $k  \%$ z celkové plochy mříže. Uvažujme zjednodušený model propadávání kuliček lešením, kdy, pokud kulička spadne na díru v lešení, tak projde bez ovlivnění, a pokud spadne na pevnou část mříže, tak se její rychlost sníží na $0$ a ihned začne dále padat (tj. velikost kuliček je zanedbatelná vůči velikosti děr v lešení, kuličky se od lešení nijak neodráží a po dopadu na pevnou část mříže se ihned skutálí do díry a dále začínají padat). Nakonec neuvažujme ani potenciální srážky kuliček mezi sebou. Předpokládejte, že kuličky se z tašky sypou s konstantním hmotnostním průtokem $Q$. Jakou silou budou kuličky působit na každé patro lešení, až se situace ustálí?

Mějme tři pevné body ve stejné výšce. Vzdálenost mezi prvním a druhým je $a = 1 \mathrm{m}$, vzdálenost mezi druhým a třetím je $b = 1,5 \mathrm{m}$. Přes body položíme dokonale tuhý trám s hmotností $m = 12 \mathrm{kg}$. Spočítejte, jaká síla působí na každý z bodů.