Vyhledávání úloh podle oboru

Želva A'Tuin, na jejímž krunýři stojí čtyři sloni nesoucí na svých hřbetech Zeměplochu, není žádný drobeček. Předpokládejme, že bychom byli znudění kulatostí naší Země a chtěli ji vyměnit za kruhovou placku se stejnou hmotností a hustotou a s tloušťkou $h=1\;\mathrm{km}$ nesenou vlastní želvo-sloní partou. V případě, že by naše želva cestou vesmírem vrazila špičkou ocasu do planetky, za jak dlouho by si uvědomila bolestivý podnět, jestliže její ocas s centrální nervovou soustavou spojuje jediný dlouhý neuron a délka tohoto neuronu je přibližně stejná jako průměr naší placky? O kolik dříve/později by si bolest ve stejném případě uvědomila A'Tuin (délku neuronu považujte za ekvivalentní její délce, která činí 18 000 km)? Pro číselný odhad předpokládejme, že rychlost šíření vzruchu v nervové soustavě poněkud nadměrných tvorů je stejná jako u pozemských živočichů, u nichž činí $v≈120\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.

Na základě biochemických dějů v lidském těle a jeho mechaniky odhadněte, kolik energie spotřebuje cyklista na překonání tisíce výškových metrů, je-li průměrné stoupání 5 %.

Hlavním zdrojem atmosférického kyslíku jsou fotosyntetizující rostliny. Představte si, že dojde k jejich masovému vymření. Na jak dlouho vystačí světové zásoby kyslíku, předpokládáme-li, že lidstvo a zbytek planety nijak nezmění svou spotřebu. Potřebné údaje určitě najdete na internetu.

Změřte rozdíl hustot čerstvého a zkaženého vejce a zjistěte i její časovou závislost! Pokuste se také vysvětlit své výsledky a zvažte užití statistického zpracování.

Tip. Vejce se rychle zkazí například na sluníčku.

Integrál

Bloudění námořníka

Pí-obvod

Epidemie v Praze

• Organizátor FYKOSu vypil velmi rychle láhev tvrdého alkoholu. Alkohol se z žaludku vstřebává do krve rychlostí úměrnou jeho množství (v žaludku) s konstantou úměrnosti $\alpha$ a z krve je odbouráván játry podle stejného vztahu, tentokrát však s konstantou úměrnosti $\beta$. Sestavte diferenciální rovnici popisující tyto děje, určete závislost množství alkoholu v krvi na čase, určete čas, ve kterém je koncentrace maximální a vypočítejte ji.

• Šnek plazící se rychlostí $1\,\jd{mm.s^{-1}}$ se v čase $t_{0}$ postaví na začátek gumového lana dlouhého $1\, \jd{m}$ a začne se plazit. Ve stejném okamžiku se lano začne napínat rychlostí $1 \,\jd{m.s^{-1}}$ (je nekonečně pružné takže nikdy nepraskne). Rozhodněte, zda šnek dosáhne konce lana v konečném čase a pokud ano, spočítejte, za jak dlouho se tak stane.

• Takzvaná redukovaná Gaussova rovnice má tvar

$$xy''+(\gamma -x)y'-\alpha y = 0$$ Předpokládejte řešení ve tvaru Taylorova polynomu, určete vztah pro jeho koeficienty a vyšetřete asymptotické chování řešení (tj. určete jakou funkcí by se dalo vystihnout jeho chování pro velká $x$). Určete pro jaké hodnoty koeficientů $\gamma$ a $\alpha$ je konečný tento integrál $$\int ^{\infty} e^{x/2}F(\alpha, \gamma, x) \d x\,$$ kde $F(\alpha, \gamma, x)$ značí řešení Gaussovy rovnice (takzvaná redukovaná hypergeometrická funkce).

Poznámka: Pokud označíme $E=-\frac{1}{\alpha^{2}}$, dostaneme z poslední rovnice pro $E$ zajímavou podmínku. A pokud se vám při pohledu na ni začíná vybavovat vzorec pro možné hodnoty energie elektronu v atomu vodíku, pak vězte, že podobnost s vaším výsledkem není vůbec náhodná.

Změřte rychlost vedení vzruchu v nervu.

Návod: Změřte svou reakční dobu na optický nebo zvukový podnět (v tomto případě můžeme předpokládat, že vzruch dorazí do mozku okamžitě). Poté změřte rychlost své reakce na dotek konce ruky nebo nohy. Porovnáním výsledků pak stanovte rychlost vedení vzruchu. Nezapomeňte, že pro správné statistické zpracování potřebujete naměřit minimálně deset hodnot.

Jednou z metod měření objemu kapaliny, jejíž objem se obtížně měří standardními metodami, je následující metoda: Pokusné osobě vpravíme do těla tekutinu o objemu $V_{1}=4\;\mathrm{cm}^{3}$ obsahující radioaktivní atomy $^{24}{\rm Na}$ a o celkové aktivitě $A_{1}=2500\; \textrm{s}^{-1}$. Jelikož poločas rozpadu sodíku 24 je $T=15\; \textrm{hod}$, nemusíme se bát o zdraví měřené osoby. Po čase $t=10\; \textrm{hod}$ odebereme vzorek krve o objemu $V_{2}=10\;\mathrm{cm}^{3}$ a aktivitě $A_{2}=2\; \textrm{s}^{-1}$. Jaké množství krve obsahuje náš pokusný „objekt“?

Poznámka: Pokud neznáte význam veličin psaných kurzívou, zkuste se podívat do nějaké základní učebnice jaderné fyziky.