Vyhledávání úloh podle oboru

Uvažujme otevřené struny a omezme se jen na tři prostorové rozměry. Namalujte, jak vypadá

• struna volně se pohybující v časoprostoru,
• struna připevněná oběma konci k D2-bráně,
• struna natažená mezi D2-bránou a D1-bránou.

Jaké jsou možnosti, kde mohou struny končit v případě konfigurace tří rovnoběžných D2-brán?

Vyberte si jednu z funkcí $\mathcal{P}_{\mu}^{\tau}$ nebo $\mathcal{P}_{\mu}^{\sigma}$ definovanou v první části seriálu a najděte její explicitní tvar (tj. přímo závislost na $\dot{X}^{\mu}$ a $X'^{\mu}$). Ukažte, že podmínky $\vect{X}'\cdot \dot{\vect{X}}=0$ a $|\dot{\vect{X}}|^2=-|\vect{X}'|^2$ opravdu vedou na zjednodušení uvedené v textu.

Najděte spektrum energií harmonického oscilátoru.

• Energie harmonického oscilátoru je dána Hamiltoniánem

$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2\,.$$ Druhý člen je očividně potenciální energií zatímco první dává po dosazení $\hat{p}=m\hat{v}$ kinetickou energii. Definujme lineární kombinaci $\hat{\alpha}=a\hat{x} + \;\mathrm{i} b\hat{p}$. Určete reálné konstanty $a$ a $b$, tak aby měl Hamiltonián tvar $$\hat{H}=\hbar \omega \left(\hat{\alpha} ^{\dagger}\hat{\alpha} + \frac{1}{2}\right)\,,$$ kde $\hat{\alpha} ^{\dagger}$ je komplexní sdružení $\hat{\alpha}$.

• Ukažte ze znalosti kanonických komutačních relací pro $\hat{x}$ a $\hat{p}$, že platí

$$\left[\hat{\alpha},\hat{\alpha}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ^{\dagger},\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ,\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=1$$

• Ve spektru oscilátoru bude určitě stav s minimální energií odpovídající nejmenšímu možnému kmitání. Označme ho $|0\rangle$. Tento stav musí splňovat $\alpha |0\rangle =0$. Ukažte, že je jeho energie rovna $\hbar\omega/2$, tj. $\hat{H}|0\rangle=\hbar\omega/2|0\rangle$. Dále ověřte, že pokud by bylo $\alpha |0\rangle \neq 0$, pak máme spor s tím, že má $|0\rangle$ minimální energii, tj. $\hat{H}\alpha |0\rangle=E\alpha|0\rangle$, kde nyní je $E<\hbar\omega/2$. Všechny vlastní stavy Hamiltoniánu můžeme potom psát jako $\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle$ pro $n=0,1,2,\dots$ Najděte energie těchto stavů, tj. čísla $E_n$ taková, že $\hat{H}\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle=E_n\left(\alpha^{\dagger}\right)^n|0\rangle$

Tip Použijte komutační relace pro $\hat{\alpha}^{\dagger}$ a $\hat{\alpha}$ .

Modelů atomu vodíku bylo nespočetné množství a mnohé z nich už jsou překonané, ale my máme rádi puding a tak se vrátíme k tzv. pudinkovému modelu vodíku. Atom tvoří koule o poloměru $R$ s rovnoměrně rozloženým kladným nábojem („puding“), v kterém se nachází jeden elektron („rozinka“). Samozřejmě nejlépe je elektronu v místě s nejnižší energií, tak sedí ve středu pudingu. Celkově je soustava elektricky neutrální. Jakou energii musíme dodat elektronu, abychom ho dostali do nekonečna? Jaký by musel být poloměr pudingu, aby se tato energie rovnala Rydbergově energii (excitační energie elektronu v atomu vodíku)? Poloměr vyjádřete v násobcích Bohrova poloměru.

• Podívejte se do textu, jak působí operátor polohy $ $$\hat X$$ $ na složky stavového vektoru v $x$-reprezentaci (vlnovou funkci) a spočítejte jejich komutátor, tj.

$$(\hat {X})_x \left((\hat {P})_x {\psi} (x)\right) - (\hat {P})_x \left((\hat {X})_x {\psi} (x)\right) $$

Tip Zjistěte si, co se stane při derivaci součinu dvou funkcí.

• Problém energetických hladin pro volnou kvantovou částici, tj. pro $V(x)=0$, vypadá následovně:

$$-\frac {\hbar ^2}{2m} \dfrac{\partial^2 {\psi} (x)}{\partial x^2}= E {\psi} (x)$$

• Zkuste jako řešení dosadit $ψ(x)=e^{αx}$ a zjistěte, pro jaká $α$ (obecně komplexní) je $E$ kladná (nadále používejte pouze taková $α$).
• Je toto řešení periodické? Pokud ano, tak s jakou prostorovou periodou (vlnovou délkou)?
• Je získaná vlnová funkce vlastním vektorem operátoru hybnosti (v $x$-reprezentaci)? Pokud ano, najděte souvislost mezi vlnovou délkou a hybností (tj. odpovídajícím vlastním číslem operátoru hybnosti) daného stavu.
• Zkuste formálně spočítat hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v prostoru naší vlnové funkci podle vzorce uvedeného v textu. Pravděpodobnost, že se částice vyskytuje v celém prostoru by měla být pro fyzikální hustotu pravděpodobnosti 1, tj.

$$\int_\mathbb{R} \rho(x) \;\mathrm{d} x=1.$$

Ukažte, že nelze naší vlnovou funkci $nanormovat$ (tj. přenásobit nějakou konstantou) tak, aby její formální hustota pravděpodobnosti podle vzorce z textu byla opravdovou, fyzikální hustotou pravděpodobnosti.

Bonus: Jaká si myslíte, že je limitně neurčitost polohy částice, jejíž vlnová funkce je hodně blízká té naší? (Tj. blíží se ve všech vlastnostech, ale má vždy normovanou hustotu pravděpodobnosti a je to tudíž fyzikální stav.) Lze odhadnout pomocí Heisenbergových relací neurčitosti jaká přitom bude nejméně neurčitost hybnosti?

Tip Dávejte pozor na komplexní čísla, například kvadrát komplexního čísla je něco jiného než kvadrát velikosti komplexního čísla.

• V druhém díle jsme si odvodili energetické hladiny elektronu ve vodíku pomocí redukované akce. Zvláštní shodou by řešení spektra hamiltoniánu v coulombickém potenciálu protonu vedlo na úplně samé energie, tj.

$$E_n = -{\;\mathrm{Ry}} \frac {1}{n^2}$$

kde $\mathrm{Ry} = 13,6\, \jd{eV}$ je energetická konstanta známá jako Rydbergova konstanta. Elektron, který spadne z libovolné hladiny na $n=2$, vyzáří energii ve formě jediného fotonu úměrnou rozdílu energie daných hladin. Ze kterých hladin musí elektron na druhou hladinu spadnout, aby bylo vyzářené světlo viditelné? Jakou budou mít odpovídající spektrální čáry barvu?

Tip Vzpomeňte si na fotoelektrický jev a na vztah mezi frekvencí světla a jeho vlnovou délkou.

Jaký by byl svět, ve kterém by byly stejné hodnoty fundamentálních fyzikálních konstant, jenom rychlost světla by byla pouze $c=1000\;\mathrm{km}\cdot \mathrm{h^{-1}}$? Jaký by byl takový svět pro život na Zemi, život lidí? A bylo by vůbec možné, aby v takovém světě existovali lidé?

Honza není spokojen se současným standardem postelí, a proto začal testovat levitaci na laseru. Koupil si kuličku s dokonale vyleštěným zrcadlovým povrchem o hmotnosti $m$, poloměru $r$ a položil ji na zem. Podlaha se rozzářila lasery o vlnové délce $λ$ a plošném výkonu $P$. V jaké výšce nad zemí se kulička ustálila? Za bonusové body můžete vyřešit situaci, kdy je kulička skleněná. V obou případech uvažujeme, že ji laser neroztaví a že se experiment odehrává v homogenním gravitačním poli.

Janap šla domů z hvězdárny a při pohledu na východ Slunce ji napadlo, jak by asi jednoduše šla spočítat jeho teplota. Prozradíme vám, že Země je absolutně černé těleso s teplotou $0\, \jd{^{o}C}$.

1. Rozhodněte, zda stabilita (popř. rozměr) saturnského atomového modelu závisí na atomovém čísle $Z$.
2. Upravte vzorec (12) pro pravděpodobnost rozptylu $α$-částice pod velkým úhlem $φ$ tak, abyste dostali praktičtější vztah pro pravděpodobnost dopadu na jednotku plochy scintilátoru, a uvažte, jak byste ho využili k určení materiálu ostřelovaného vzorku. Dále odhadněte, jak by se vzorec změnil, pokud bychom neuvažovali centrální náboj $Ze$ nýbrž $Z$ rozptýlených elementárních nábojů $e$ jako třeba v Lenardově modelu.
3. V roce 1896 objevil astronom E. C. Pickering ve světle hvězdy $ζ$ Puppis čáry, které splňovaly vztah (7) pro $n=2$ a $m=2,\!5$; $3$; $3,\!5$; $4$; $4,\!5$; …, tedy i pro polocelá čísla! Vysvětlete tuto zdánlivou nesrovnalost s Bohrovým modelem.
4. Bonus: Najděte závislost analogickou rovnici (11) pro Thompsonův pudinkový model a okomentujte rozdíly. Nebo zkuste (11) upravit tak, aby zahrnovala působení jader všech atomů v tenké fólii. Zkrátka si trochu vyhrajte.

Viz přiložený soubor.

Viz přiložený soubor.

Navrhněte a dostatečně teoreticky zdůvodněte metody k experimentálnímu určení Planckovy konstanty, které se dají realizovat doma, příp. s vybavením ve školní laboratoři, a alespoň jednu z nich proveďte. Všechny veličiny, které je možné experimentálně určit (zvažte užití statistiky), co nejpřesněji změřte a správně vyhodnoťte velikost této fundamentální konstanty s příslušnou experimentální chybou.

Nápověda: LED dioda s ochranným rezistorem stojí cca 5 Kč.