Vyhledávání úloh podle oboru

Dvě vesmírné lodě letí v jedné přímce proti sobě. Jejich počáteční vzdálenost je $d$. První se pohybuje rychlostí $v_1$, druhá $v_2$ (ve stejné vztažné soustavě). První dokáže vyvinout maximální zrychlení $a_1$, druhá $a_2$ (obě v libovolném směru). Posádky lodí si chtějí předat nějaké „zboží“, ale k tomu potřebují, aby se lodě potkaly ve stejný čas na stejném místě a přitom měly stejnou rychlost. Za jaký nejmenší čas je toho možné dosáhnout? Relativistické jevy neuvažujte.

Beruška leze rychlostí $4 \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$. Když ji postavíme na gumu $40 \mathrm{cm}$ dlouhou, přeleze ji za $10 \mathrm{s}$. Co když ale v okamžiku, kdy beruška začne lézt, začneme gumu natahovat tak, že se její délka bude zvětšovat rychlostí $5 \mathrm{cm\cdot s^{-1}}$? Může dolézt na konec? Pokud ano, jak dlouho jí to bude trvat? Guma se roztahuje rovnoměrně a nikdy se nepřetrhne.

1. Určete, kolik procent první stránky vzorového řešení úlohy 26-IV-5 zabírá černá barva. Řešení této úlohy najdete na https://fykos.cz/_media/rocnik26/ulohy/pdf/uloha26_4_5.pdf.
2. Představte si, že máte tužku, jejíž tuha má poloměr $r=0{,}8 \mathrm{mm}$. Tuha je vyrobena z grafitu v šesterečné soustavě, kde vzdálenost atomů uhlíku v jedné vrstvě je rovna $a = 2{,}46 \cdot 10^{-10} \mathrm{m}$ a jednotlivé vrstvy jsou od sebe vzdáleny $c = 6{,}71 \cdot 10^{-10} \mathrm{m}$. Jakou délku tuhy spotřebujete na pomalování celé čtvrtky A4, pokud se papír při barvení pokryje průměrně $100$ vrstvami tuhy?

\setcounter {enumi}{2}

1. Na obrázku je zobrazena stabilní tyčová soustava, která se nachází v tíhovém poli se zrychlením $g$. Nejtlustší linka znázorňuje dokonale tuhé tyče zanedbatelné hmotnosti. Na konci těchto tyčí je na nehmotném provázku upevněno závaží o hmotnosti $m$ (na obrázku zobrazeno středně tlustou linkou). Tenké čáry symbolizují délky tyčí. Platí, že $\alpha + \beta = 45\dg $. Tyč mezi úhly $\alpha $ a $\beta $ půlí horní tyč. Tyče mohou působit silou pouze ve svém směru (žádná složka není kolmá na tyč). Tyče jsou v místech dotyku s levou stěnou pevně upevněny. Určete, které tyče jsou namáhány v tlaku a které v tahu a spočítejte velikosti sil, které na ně působí.
2. Uvažujme spirálu, která začíná v počátku soustavy souřadné a odvíjí se rovnoměrně. Vzdálenost mezi jednotlivými závity $a$ je konstantní. Popište pohyb po této spirále ve vhodných souřadnicích.
3. Mějme šroubovici, která se odvíjí rovnoměrně. Šroubovice má konstantní poloměr $R$ a konstantní vzdálenost mezi závity $h$. Popište pohyb po šroubovici ve vhodných souřadnicích a určete, jaká je délka jednoho závitu této šroubovice.

Bonus: Vymyslete nebo najděte (a citujte) souřadnice, které nejsou v knihovničce FO a byly by vhodné pro popis nějakého fyzikálního problému (uveďte jakého). Souřadnice popište převodem z kartézských souřadnic na vámi vybrané a zpět. Dále ukažte, jak lze ve vašich souřadnicích obecně určit vzdálenost dvou bodů.

1. Na základě Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj populace predátora a kořisti (např. slunéčka sedmitečného a mšice makové) pro následující hodnoty parametrů: $r\_m = 0{,}8$, $D\_m = 1{,}0$, $r\_s = 0{,}75$, $D\_s = 1{,}5$. Počáteční populace volte po dvojicích jako $m = 0{,}5$ a $s = 2{,}0$; $m = 1{,}5$ a $s = 0{,}5$; $m = 1{,}95$ a $s = 0{,}75$. Výsledek zaneste do grafu závislosti populace predátora na populaci kořisti. Výsledky diskutujte.
   Bonus: Nalezněte tvar křivek v grafu pomocí analytických metod (integrací diferenciální rovnice).
2. Použitím kompetitivního Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj dvou soupeřících populací s omezenou populační kapacitou (např. káně lesní a poštolka obecná) pro tyto hodnoty parametrů: $r\_k = 0{,}8$, $I\_{kp} = 0{,}2$, $k\_k = 2{,}0$, $r\_p = 0{,}6$, $I\_{pk} = 0{,}3$, $k\_p = 1{,}0$. Počáteční populace volte jako $k = 0{,}01$, $p = 1{,}0$. Poté změňte interakční koeficienty na $I\_{kp} = 1{,}5$ a $I\_{pk} = 0{,}6$, zbytek ponechejte. Výsledky zaneste do jednoho grafu závislosti velikosti populací na čase, diskutujte.
3. Ověřte důležitost pivotizace. Vyřešte soustavu \[\begin{equation*} \begin{pmatrix} 10^{-20} & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end {equation*}\] nejprve přesně (na papíře), poté s využitím LU dekompozice s (částečnou) pivotizací (využijte nějakou knihovní funkci, např. scipy.linalg.lu()), a nakonec pomocí LU dekompozice bez pivotizace (to si budete muset sami naprogramovat). Porovnejte výsledky $\vect {x}$ z jednotlivých metod a výsledky zpětného vynásobení matic $L^{-1}\cdot U$ (resp. $P\cdot L^{-1}\cdot U$ v případě s pivotizací).
4. Mějme nekonečný deskový kondenzátor se vzdáleností desek $L=10 \mathrm{cm}$ a napětím mezi deskami $U=5 \mathrm{V}$. Do kondenzátoru vložíme uzemněnou elektrodu ve tvaru nekonečně dlouhého hranolu s čtvercovou podstavou o hraně $a=2 \mathrm{cm}$, jejíž střed leží $l=6{,}5 \mathrm{cm}$ od uzemněné desky původního kondenzátoru (tak, že leží mezi deskami). Hranol je orientován tak, že jedna z jeho kratších hran je kolmá k deskám kondenzátoru. Nalezněte průběh elektrického potenciálu v kondenzátoru. Protože je problém symetrický vůči posunu v ose rovnoběžné s nekonečnou hranou hranolu, stačí jej řešit v řezu kolmém k této ose, jde tedy o 2D problém. V této rovině pak získaný průběh potenciálu také vykreslete. K řešení můžete využít program přiložený k zadání.
   Bonus: Vypočtěte a vykreslete také průběh velikosti intenzity el. pole $\vect {E}$.

Mějme kulatou kapku o poloměru $r_0$ tvořenou vodou o hustotě $\rho \_v$, která shodou okolností padá v mlze v homogenním tíhovém poli $g$. Uvažujme vhodnou mlhu se speciálními předpoklady. Tvoří ji vzduch o hustotě $\rho \_{vzd}$ a vodní kapičky s průměrnou hustotou $\rho \_r$, když uvážíme, že se rozptýlí zcela rovnoměrně. Jestliže kapka propadne nějakým objemem takové mlhy, vysbírá všechnu vodu, která se v tomto objemu nachází. Na místě zůstane pouze vzduch. Jaká je závislost hmotnosti kapky na vzdálenosti uražené v takovéto mlze?

Bonus: Řešte pohybové rovnice.

1. Řešte problém dvou těles pomocí Verletovy a Rungovy-Kuttovy metody 4. řádu přes několik (mnoho) period. Krok přitom volte tak velký, aby se projevily numerické chyby, a pozorujte, jakým způsobem se chyby v obou případech projevují na tvaru trajektorie.
2. Řešte pohyb tlumeného lineárního harmonického oscilátoru daného rovnicí $\ddot {x}+2\delta \omega \dot {x}+\omega ^2 x=0$, kde $\omega $ je úhlová frekvence a $\delta $ tlumící člen. Parametry měňte a sledujte změny v chování oscilátoru. Pro jaké hodnoty parametrů se oscilátor utlumí nejrychleji?
3. Modelujte růst povrchu metodou balistické depozice a studujte statistické chování hrubosti povrchu. Nalezněte mocniny $\alpha $ a $\beta $ popisující růst před saturací a po saturaci (viz seriál). Vyjděte z kódu v seriálu. Volte takový počet kroků, abyste byli schopni dobře studovat oba režimy hrubnutí. Lineární rozměr povrchu volte alespoň $L = 256$. (Upozornění: simulace mohou trvat i několik hodin.)
4. Simulujte na čtvercové mřížce šíření zhoubného nádoru pomocí Edenova modelu. Uvažujte přitom následující obměnu: s pravděpodobností $p_1$ dojde k nákaze zdravé buňky v kontaktu s nádorovou a s pravděpodobností $p_2$ dojde k uzdravení nakažené. Volte nejprve $p_1 \gg p_2$, pak $p_1 > p_2$ a nakonec $p_1 < p_2$. Na počátku nechť je nakaženo pět buněk do tvaru kříže. Kvalitativně popište, co pozorujete.
5. Přepište kód ze seriálu pro růst fraktálního krystalu (DLA model) na hexagonální mřížce na růst na čtvercové mřížce a spočtěte dimenzi výsledného fraktálu.

Poznámka: Využít kódy přiložené k seriálu není nutné, ale doporučené.

Máme válcovou skleničku, která má zboku u dna malou díru o ploše $S$. Tato nádoba je naplněná vodou, která samovolně přetéká do druhé nádoby, která je tentokrát již bez díry. Jaký tvar by musela mít druhá nádoba, aby v ní hladina rostla rovnoměrně? Předpokládejte, že má být válcově symetrická.

Bonus: Dna obou nádob jsou ve stejné výšce a nádoby jsou dírou spojené.

Máme černou skříňku se třemi výstupy (A, B a C). Víme, že obsahuje $n$ rezistorů se stejným odporem, ale nevíme jak jsou zapojeny. Změříme tedy odpory mezi dvojicemi bodů AB, BC a CA a zjistíme, že $R\_{AB} = 3 \mathrm{\Omega }$, $R\_{BC} = 5 \mathrm{\Omega }$ a $R\_{CA} = 6 \mathrm{\Omega }$. Zjistěte, kolik nejméně rezistorů může skříňka obsahovat a určete příslušný odpor jednoho rezistoru.

Představme si, že na kameru se snímkovou frekvencí 24 snímků za sekundu (uvažujme časově rovnoměrně rozložené a dokonale ostré snímky) natočíme let vrtulníku s otáčkami hlavního rotoru $2 900 \mathrm {ot./min}$. Následně si záznam přehrajeme. Jaká bude zdánlivá frekvence otáček rotoru na záznamu?

1. Vymyslete tři odlišné příklady markovovského procesu, z toho alespoň jeden fyzikální. Je procházka bez návratu markovovská? A co procházka bez křížení?
2. Mějme 2D náhodnou procházku bez návratu na čtvercové síti s počátkem v bodě $(x,y) = (0,0)$, která je omezena absorpčními bariérami $b_1: y = -5$, $b_2: y = 10$. Nalezněte pravděpodobnost, že v bariéře $b_1$ skončíme dříve než v $b_2$.
3. Proveďte simulaci pohybu brownovské částice ve 2D a vykreslete graf závislosti střední vzdálenosti od počátku na čase. Uvažujeme diskrétní čas a konstantní délku kroku (jeden krok simulace trvá $\Delta t = \textrm{konst.} $, délka kroku je $\Delta l = \textrm{konst.} $) a umožňujeme pohyb do libovolného směru, tj. každý krok je specifikován délkou a úhlem $\theta \in [0,2\pi )$, přičemž všechny směry jsou stejně pravděpodobné. Zajímá nás především asymptotické chování, tedy vývoj střední vzdálenosti pro $t \gg \Delta t$.
4. Chybová funkce je definována vztahem \[ \mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x \eu^{-t^2}\,\d t\,.\] Tabelujte tuto funkci, tedy vypočtěte integrál pro mnoho různých $x$. Do řešení nevkládejte tabulku hodnot, ale graf funkce. Zkuste tuto funkci opět numericky zderivovat. Co dostanete?
5. Najděte si definici hustoty pravděpodobnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení $f(v)$, tedy rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu. Spočítejte pak pomocí MC integrace střední hodnotu rychlosti definovanou \[ \langle v\rangle = \int_0^{\infty} v f(v)\,\d v\,, \] přičemž pro vzorkování použijte náhodná čísla dle Maxwellova-Boltzmannova rozdělení získaná Metropolisovým-Hastingsovým algoritmem. Hodnotu pro konkrétní zvolené parametry srovnejte s hodnotou z literatury.