Vyhledávání úloh podle oboru

Viz přiložené soubory.

Částice se spinem 1/2 (např. elektron) se může nacházet ve dvou stavech projekce spinu na osu $z$. Buď spin míří nahoru, pak se nachází ve stavu |↑〉, či dolů, to je ve stavu |↓〉. Tyto dva stavy tvoří bázi dvoudimensionálního Hilbertova prostoru popisující právě částici se spinem 1/2.

• Napište, jak vypadá operátor identity na tomto prostoru v řeči vektorů |↑〉 a |↓〉.
• Najděte vlastní vektory a vlastní čísla matic $S_{1}$, $S_{2}$

a $S_{3}$.

• Máte zadány operátory $S_{+}$ a $S_{-}$ ve tvaru $S_{+}=|↑〉〈↓|$, $S_{-}=|↓〉〈↑|$.

Najděte jejich vyjádření v bázi vektorů |↑〉 a |↓〉 a určete, jak působí na obecný vektor |$ψ〉=a|↑〉+b|↓〉$. Jak vypadají vlastní vektory těchto operátorů a jaká jsou vlastní čísla?

• Definujme vektory

|⊗〉 = ( |↑〉 + |↓〉 ) ⁄ √2 |⊕〉 = ( |↑〉 − |↓〉 ) ⁄ √2. Ukažte, že tyto vektory tvoří bázi na našem Hilbertově prostoru a najděte vztah mezi koeficienty $a$, $b$ v rozkladu |$ψ〉$ do původní báze a koeficienty $c$, $d$ v rozkladu |$ψ〉=c|⊗〉+d|⊕〉$ do nové báze.

• Napište tvar operátorů spinu $S_{1}$, $S_{2}$ a $S_{3}$ v bázi vektorů |⊗〉 a |⊕〉. Určete jejich vlastní čísla a vektory.

V této úloze se budeme zabývat atomem vodíku, který je tvořen velice hmotným jádrem s nábojem $e$ a lehkým elektronem o hmotnosti $m$ s nábojem $-e$, který kolem jádra obíhá pro kruhové trajektorii.

• Určete, jak na základě klasické fyziky závisí vzdálenost elektronu od jádra atomu na jeho celkové (kinetické a potenciální) energii $E$.
• Přijměme Bohrovu hypotézu, že moment hybnosti elektronu je kvantován, tzn. může nabývat jen hodnoty $L=nh/2π$, kde $n$ je přirozené číslo. V jaké vzdálenosti potom může elektron kolem jádra atomu obíhat?
• Určete frekvenci fotonu, který elektron vyzáří, pokud přejde z $n$-té do $m$-té povolené vzdálenosti od jádra.

Ve spektru jisté hvězdy byla pozorována emisní čára hélia, která má běžně vlnovou délku $587,563\, \jd{nm}$. Nebylo však vinou použitého spektroskopu, že byla rozmazána přibližně v rozmezí $587,60\, \jd{nm}$ až $587,67\, \jd{nm}$ . Pokuste se odhadnout teplotu hvězdy a její rychlost v prostoru. Čím je rozmazání spektrální čáry způsobeno?

Na katodu fotočlánku dopadá ze rtuťové výbojky světlo o vlnové délce $546,1\, \jd{nm}$ a k potlačení proudu vznikajícího díky fotoelektrickému jevu je potřeba napětí $U_{1}=1,563\,\jd{V}$. Dopadá-li na katodu světlo o vlnové délce $404,7\, \jd{nm}$, je potřeba napětí $U_{2}=2,356\, \jd{V}$. Vypočítejte hodnotu Planckovy konstanty $h$.

Skleněná polokoule o poloměru $R = 10\, \jd{cm}$ a indexu lomu $n$ je umístěna v gravitačním poli Země rovnou plochu dolů. Úzkým laserovým paprskem svítíme zespodu ve směru osy polokoule. Jaký musí být výkon laseru, aby polokoule levitovala. Šířka laserového paprsku je $d = 0,5 \;\mathrm{mm}$ a jeho vlnová délka je $\lambda = 660\, \jd{nm}$.

Má-li z krystalu vycházet laserový paprsek, musíme mu dodat energii prostřednictvím záření z vnějšího zdroje. Cílem je, aby co nejvíce záření z našeho bodového zdroje bylo využito k excitaci elektronů ve velmi malém krystalu. Poraďte nám, jaký ideální tvar proto musí mít odrazná plocha. Nezapomeňte své tvrzení dostatečně zdůvodnit.

Na dielektrický disk volně se otáčející kolem své osy přilepíme závit supravodivého drátu v němž teče proud $I_{0}$. Dále kolem tohoto závitu symetricky přilepíme elektricky nabité kuličky o náboji $q$. Celý disk poté začneme pomalu zahřívat. V jistém okamžiku přestane být drát supravodivý, takže v něm přestane téct proud a změní se magnetický tok přes závit. V důsledku toho vznikne podle Faradayova zákona okolo tohoto závitu elektrické pole, které bude působit na přilepené náboje, takže se celý disk začne otáčet. Na druhou stranu musí zůstat podle zákona zachování hybnosti v klidu. Tak kde je v předcházejících úvahách chyba?

• Elektrostatická energie rovnoměrně nabité koule je $E=\frac{3Q^{2}}{ 20 \pi \epsilon_{0}R}$. Pokud to dokážete, ověřte tento vztah výpočtem, jinak řešte rovnou úkol b).

• Pomocí tohoto vztahu se pokuste ze znalosti klidové energie protonu a elektronu spočítat rozměr těchto částic.

• Rozmyslete, proč je tento postup zcela nesmyslný. Pozn.: experimentálně je ověřeno, že rozměr elektronu je menší než $10^{-19}\,\jd{m}$.

Sekáček na led – známý vražedný nástroj z tohoto filmu (vy, kdo jste tento výplod kinematografe ještě neshlédli, vězte, že toto náčiní vypadá zruba jako šroubovák s ostrou špičkou) postavila chladnokrevná vražedkyně z dlouhé chvíle na hrot. Pomocí relací neurčitosti odhadněte maximální dobu, po kterou corpus delikti setrvá v této poloze.