Vyhledávání úloh podle oboru

Všichni to známe – uzavírky na silnicích a nekonečné stání na semaforech. Zelená svítí po dobu $60 \mathrm{s}$, ale než se stačí všichni rozjet, už je zase červená. Uvažujme $0{,}5 \mathrm{s}$ reakční dobu řidiče, než se rozjede poté, co se dalo do pohybu auto před ním. O kolik procent by se zvýšil počet aut, která projedou uzavírkou, kdyby se všichni ve frontě rozjeli současně? První auto stojí na úrovni semaforu, vzdálenost předních nárazníků všech aut odhadněme na $5 \mathrm{m}$ a všechna se rozjíždí rovnoměrně zrychleně po dobu $5 \mathrm{s}$ na rychlost $30 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$, kterou pak pokračují dále do uzavírky.

Dva mimozemšťané bydlí každý na své kosmické stanici. Stanice se nacházejí ve volném prostoru a vzdálenost mezi nimi je $L$. Když chce jeden mimozemšťan navštívit druhého, musí nasednout do své nerelativistické rakety a doletět k sousedovi. Jaký nejkratší čas může mimozemšťan strávit na cestě tam i zpět? Hmotnost rakety s palivem je $m$, bez paliva $m_0$. Výtoková rychlost spalin je $u$, tok paliva je libovolný. Jeho soused mu žádné palivo načerpat nedovolí (sám má málo).

Danka připojila zahradní hadici s vnitřním průměrem $1,5 \mathrm{cm}$ na vodovodní kohoutek na koleji a druhý konec položila na okraj okna na 8. poschodí ve výšce $23 \mathrm{m}$ nad zemí. Jaký objemový průtok vody by musel kohoutek mít, aby se Dance podařilo postříkat proudem vody lidi stojící pod kolejí ve vodorovné vzdálenosti $9 \mathrm{m}$ od budovy, kteří ruší noční klid? Může se to Dance podařit, pokud voda stříká vodorovně a nefouká vítr?

Bonus: Kde nejdále mohou stát tito lidé, aby na ně Danka hadicí dostříkla, pokud je objemový průtok kohoutku $0{,}4 \mathrm{l\cdot s^{-1}}$? Danka teď může konec hadice natočit tak, aby voda stříkala pod libovolným úhlem vůči vodorovné rovině.

Matěj s Davidem se kloužou na bobech z kopce se sklonem $\alpha =29 \mathrm{\dg }$, který v jeho patě přechází ve vodorovnou zem. Oba vyrazili z klidu ze stejné výšky. Matějovy boby ujedou vždy stejnou vzdálenost $l$ po nakloněné rovině i ve vodorovné části. Protože se při vyšší zátěži boby proboří hlouběji do sněhu, uvažujte, že třecí koeficient je úměrný normálové síle jako $f(F)=kF$, kde $k$ je kladná konstanta. Určete, kolikrát dále dojede Matěj od paty kopce než David, je-li Davidova hmotnost (i s boby) o $12 \mathrm{\%}$ vyšší než Matějova. V patě kopce bobaři neztrácí žádnou energii.

Pták Fykosák sleduje, jak se kolem něj v jeho inerciální vztažné soustavě po rovnoběžných trajektoriích pohybují konstantními nerelativistickými rychlostmi dva hmotné body. Stejně jako on najděte odpověď na otázku, jestli se pro nějakého jiného inerciálního pozorovatele můžou tyto trajektorie protnout. Pokud ano, je možné, aby se dané hmotné body při správných počátečních podmínkách srazily v tomto průsečíku? Je to konzistentní s tím, že podle Fykosáka se pohybují paralelně?

Jarda se rozhodl upéct koláč, ale zjistil, že se v jeho kuchyňské váze vybila baterka a nemá jak odvážit $300 \mathrm{g}$ mouky. Napadlo ho však, že může použít kostku másla, na které je napsáno, že má hmotnost $m = 250 \mathrm{g}$. Naštěstí našel ještě vhodnou pružinu a stopky. Na velmi lehkou mističku nasypal hromádku mouky, připevnil na pružinu, rozkmital a změřil periodu $T_1=2,8 \mathrm{s}$. To stejné udělal s kostkou másla a naměřil $T_2 = 2,3 \mathrm{s}$. Poraďte Jardovi, kolik mouky má přidat nebo odebrat.

Lex Luthor zajal Lois Lane a vyhodil ji z letadla ve výšce $h$. Superman se za ní rozletí a v nějaké výšce ji chytí. Předpokládejme, že Lois dokáže přežít zrychlení maximálně $10 g$. V jaké nejnižší výšce ji může Superman chytit, aby ji stihl zachránit?

Bublifukem vytvoříme malou mýdlovou bublinku. Jakou rychlostí bude padat k zemi? Bublinka má vnější poloměr $R$ a plošnou hustotu $s$.

Postavili jsme malou raketu s hmotností $m_0 = 3 \mathrm{kg}$, z níž $70 \mathrm{\%}$ tvoří palivo. Výtoková rychlost spalin je $u = 200 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a jejich hmotnostní tok je $R = 0,1 \mathrm{kg\cdot s^{-1}}$. Raketa je vybavena stabilizačními prvky, takže se nevychyluje z dráhy a startuje z klidu kolmo vzhůru. Předpokládejte, že odporová síla vzduchu je přímo úměrná rychlosti, $F\_o = -bv$, kde $b = 0,05 \mathrm{kg\cdot s^{-1}}$, $v$ je rychlost rakety a znaménko minus znamená, že síla působí proti směru pohybu. V jaké výšce nad povrchem se bude raketa nacházet v čase $T = 25 \mathrm{s}$ od zažehnutí motoru?

Průměrně jakou část dne stráví ve stínu Země satelit obíhající na nízké oběžné dráze? Uvažujte, že obíhá po kruhové dráze v rovině ekliptiky ve výšce $H = R/10$ nad povrchem, kde $R$ je střední poloměr Země.