Vyhledávání úloh podle oboru

Při měření rozpadu neutronu na elektron a proton proměřovali čeští vědci energii vylétávajícího elektronu. Jak mohou pouze na základě údajů z tohoto měření poznat, zda nevzniká při tomto rozpadu ještě jiná částice? Uvažujte, že neutron je před rozpadem v klidu.

Frekvence fotonu vyzářeného jádrem radioaktivního železa není vždy stejná, ale při rozpadech různých jader se nepatrně liší (to platí i pro jiná jádra). Pro jednoduchost předpokládejte, že hodnota energie fotonu v klidové soustavě jádra železa leží náhodně v intervalu ( $E_{0}-ΔE,E_{0}+ΔE)$, kde $E_{0}=14,4\;\mathrm{keV}$ (keV = kiloelektronvolt), $ΔE≈10^{-8}\;\mathrm{eV}$ ($1\, \jd{eV} = 1,602 \cdot 10^{-19} \jd{J}$).

• Vyzáří-li volný nehybný atom železa foton, musí mít tento atom podle zákona zachování hybnosti opačnou hybnost než vyzářený foton. Vypočítejte kinetickou energii takového atomu a porovnejte ji s veličinou $ΔE$.
• Takzvaný Mössbauerův jev spočívá v tom, že je-li foton vyzářen atomem železa vázaným v krystalu, může se hybnost „zpětného rázu“ předat celému krystalu. Vypočítejte kinetickou energii krystalu (posun energie fotonu) v tomto případě za předpokladu, že krystal je složen z řádově $10^{23}$ atomů.

Stejně jako emise fotonu může probíhat i jeho absorpce. Foton však může být absorbován jen tehdy, když jeho energie v klidové soustavě jádra leží v intervalu ( $E_{0}-ΔE,E_{0}+ΔE)$.

• Rozhodněte, zda může nehybný atom železa absorbovat foton vyzářený jiným nehybným atomem.
• Vypočítejte, jak rychle se vůči sobě musí pohybovat dva kusy železa, aby už první kus nemohl kvůli Dopplerovu jevu absorbovat fotony vyzářené druhým kusem. Dopplerovým jevem myslíme to, že frekvence záření $f$, kterou vyzařuje zdroj přibližující se rychlostí $v$, se v naší soustavě změní na $f′=(1+v⁄c)f$.

Předpokládejte, že při emisi i absorpci se uplatňuje výše zmíněný Mössbauerův jev.

Potřebné konstanty nalezněte v tabulkách.

Předpokládejme, že při vzniku Země na ní byly izotopy uranu $^{238}U$ a $^{235}U$, ale ne produkty jejich rozpadu. Izotop $^{238}U$ resp. $^{235}U$ se rozpadá s poločasem $T_{1} = 4,50 \cdot 10^{9}$ roků resp. $T_{2} = 0,710 \cdot 10^{9}$ roků. Ve srovnání s těmito časy jsou poločasy rozpadu produktů zanedbatelné, rozpadové řady končí stabilními izotopy $^{206}Pb$ a $^{207}Pb$.

Je-li v uranové rudě poměr počtu atomů uranu $^{238}U$ : $^{235}U$ = $137 : 1$ a poměr počtu atomů olova $^{206}Pb : ^{207}Pb = 28 : 17$, odhadněte stáří Země.

Jednou zaregistrovali v Utahu (USA) detektorem kosmického záření proton s energií $51\,\jd{J}$. Spočtěte jeho rychlost (nebo spíše o kolik se její rychlost liší od rychlosti světla). Odhadněte také zakřivení jeho dráhy v magnetickém poli $10\,\jd{T}$.

Na pracoviště nukleární medicíny byla doručena zásilka izotopu A. V dokumentech, které přišly spolu s izotopem, bylo uvedeno, že 11,5 min po vyndání z reaktoru, kde tento izotop vzniká v čisté formě, byla aktivita zásilky 1000 rozpadů gamma za sekundu. Když přeměřil aktivitu doručené zásilky bezpečnostní technik, zjistil, že je také 1000 rozpadů gamma za sekundu. Určete dobu transportu zásilky, když víte, že se A rozpadá beta rozpadem s poločasem 23 minut na B, které se s poločasem 23 dní rozpadá za emise beta a gamma na stabilní nuklid C.

Najděte horní řádový odhad hmotnosti mezonu $π^{0}$, který podle Yukawovy teorie zprostředkovává silnou interakci mezi dvěma neutrony, když víte, že její dosah je zhruba $10^{-15}\,\jd{ m}$. Vzpomeňte si na „relaci neurčitosti mezi časem a energií“, uvažte, že energie, která se nezachovává je minimálně $m_{π}c^{2}$, a že pion za příslušný čas nemůže doletět dál než světlo ve vakuu.

Rozhodněte, zda mohou podle současných znalostí v principu proběhnout následující procesy

$$p^{+} + e^{-} → K^{-} + e^{+} + ν_{e} + ν_{e}\,,$$

$$π^{0} + μ^{+} → e^{+} + ν_{μ} + ν_{e}\,,$$

$$Δ^{++} → p^{+} + π^{0}\,,$$

a svůj výsledek zdůvodněte.

• Pion $π^{0}$, který byl v laboratorní soustavě v klidu se rozpadnul na dva fotony:

$$π^{0} → γ + γ.$$

Vypočítejte jejich energie.

• Uvažujme rozpad pionu $π^{+}$, který byl v laboratorní soustavě také v klidu, na antimion a mionové neutrino:

$$π^{+ } → μ^{+} + ν_{μ}.$$

Zjistěte energii tohoto neutrina za předpokladu, že jeho klidová hmotnost je nulová. Při výpočtu je výhodné použít zákona zachování energie a hybnosti a rovnici $E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$.

• Pokud mají dva elektrony dostatečně velkou energii, může se při jejich srážce zrodit elektron-pozitronový pár:

$$e^{-} + e^{-} → e^{-} + e^{-} + e^{-} + e^{+}.$$

Určete, jakou minimální energii a rychlost musí mít první elektron v laboratorní soustavě, pokud je druhý elektron v téže soustavě v klidu.

Uvažte, že v mezním případě se při pohledu z těžišťové soustavy srazí dva elektrony s opačnými hybnostmi a všechny čtyři výsledné částice pak zůstanou prakticky stát.

• Mějme dvě časově závislé vlnové funkce $Ψ_{1}(x,y,z,t)$

a $Ψ_{2}(x,y,z,t)$, které odpovídají stacionárním stavům s různými energiemi $E_{1}$ a $E_{2}$. Pokud budete chtít, můžete si dosazením do časové Schrödingerovy rovnice ověřit, že i jejich superpozice

$$Ψ(x,y,z,t)=a Ψ_{1}(x,y,z,t) + b Ψ_{2}(x,y,z,t)\,,$$ $a,b$ jsou komplexní čísla, $|a|+|b|≠0$, odpovídá časovému vývoji přípustné vlnové funkce. Vaším úkolem je ale něco jiného. Máte zjistit, za jakou dobu $T$ bude částice, která byla v čase $t=0$ popsána funkcí $Ψ(x,y,z,0)$, opět ve stejném stavu. Jinak řečeno, najděte nejmenší možné $T>0$, pro které je $$Ψ(x,y,z,T)=cΨ(x,y,z,0)\,,$$ kde $c$ je libovolné nenulové komplexní číslo.

• Vypočtěte vlnovou délku fotonu o frekvenci, s jakou se mění stav (nikoli vlnová funkce!) elektronu v atomu vodíku, když je v superpozici jednoho stacionárního stavu na druhé a jednoho na třetí energetické hladině.

Literatura: Arthur Beiser: Úvod do moderní fyziky, Academia, Praha 1978.

• V kvantové mechanice má smysl řešit i jednorozměrné úlohy, to znamená uvažovat částice, které se mohou pohybovat pouze ve směru osy $x$ a jejichž vlnová funkce $ψ(x)$ závisí pouze na $x$.

Podívejme se na nejjednodušší z nich, na částici v „nekonečně hluboké potenciálové jámě“. Tím máme na mysli částici, která se nemůže vyskytovat jinde, než v oblasti $x$ náleží $(0,L)$, takže její vlnová funkce je vně této „jámy“ o šířce $L$ nulová. Uvnitř potenciálové jámy se částice může pohybovat zcela volně, protože na ni nepůsobí žádné síly. Obrazně řečeno, uvnitř nekonečné potenciálové jámy má částice potenciální energii nulovou a vně nekonečnou. Vaším úkolem je napsat vlnové funkce odpovídající všem možným stavům systému, víte-li, že každá vlnová funkce této částice je v intervalu $[0,L]$ harmonická (tj. ve tvaru $c_{1}\sin(kx) + c_{2}\cos(kx)$, $c_{1}$, $c_{2}$ jsou komplexní čísla, $k$ je reálné) a na jeho krajích nulová. S pomocí faktu, že perioda této harmonické funkce je rovna de Broglieho vlnové délce, určete všechny možné energie, které částice může mít. Nakonec se ještě pokuste získané vlnové funkce nanormovat.

• Vypočítejte, s jakou pravděpodobností se elektron nachází v jádře iontu $\jd{He}^{+}$, když je ve stavu $1s$, kterému odpovídá normovaná vlnová funkce: $$ψ(\textbf{r}) = \sqrt{\frac{Z^{3}}{πa_{0}^{3}}}e^{(-Zr/a_{0})}\,,$$ kde $Z$ je protonové číslo helia a $a_{0}$ Bohrův poloměr atomu vodíku. Pokud tuto pravděpodobnost neumíte vypočítat přesně, pokuste se ji odhadnout seshora i zezdola, abychom znali alespoň její řád.

• Napište prostorovou závislost $ψ(\textbf{r}_{1},\textbf{r}_{2})$ vlnové funkce soustavy dvou elektronů v základním stavu atomu helia při zanedbání interakce mezi nimi.

Literatura: Arthur Beiser: Úvod do moderní fyziky, Academia, Praha 1978.

• Před objevem neutronu existovala hypotéza, že jádro s atomovým číslem $Z$ a hmotnostním $A$ se skládá z $A$ protonů a $A-Z$ elektronů. Odhadněte řádově, jakou kinetickou energii by měl elektron, jehož neurčitost polohy by byla srovnatelná s velikostí jádra helia. Jaké důsledky má tento odhad pro zmíněnou hypotézu? Pokud se částice pohybuje rychlostí srovnatelnou s rychlostí světla, nelze již použít klasický vztah pro kinetickou energii $E_{k}=p^{2}⁄2\;\mathrm{m}$, a místo něj je třeba vzít relativistický vzorec:

$$E_{k}=\sqrt{(p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}} - m_{0}c^{2}\,,$$

kde $m_{0}$ je klidová hmotnost částice.

• Uvažujme výše popsaný dvojštěrbinový experiment s elektrony. Vzdálenost štěrbin je $b=0,3\;\mathrm{mm}$ a vzdálenost stínítka od přepážky $l=1\;\mathrm{m}$. Zjistěte, jakou rychlost musí mít elektrony, aby vzdálenost dvou sousedních interferenčních minim na stínítku, které může být sestaveno například z fotočlánků, byla $d=0,2\;\mathrm{mm}$.

• Představte si, že místo dvou štěrbin uděláme do přepážky pouze jednu. Po průchodu touto štěrbinou se fotony odchylují od původního směru, takže na stínítku uvidíme místo ostrého obrazu štěrbiny rozmazanou světlou skvrnu. Vysvětlete tento jev na základě relací neurčitosti.

Literatura: Arthur Beiser, Úvod do moderní fyziky, Academia, Praha 1978