Vyhledávání úloh podle oboru

Pozorovatel se nachází na lodi na otevřeném moři ve výšce $h$ nad hladinou. Je vzdálen $d$ od vodorovného zábradlí a to v takové poloze, že dívá-li se kolmo na zábradlí, splývá dolní okraj zábradlí s horizontem. Podívá-li se ale na zábradlí ve vzdálenosti $l$ na stranu od kolmice, vidí, že se obzor nachází o $s \pm s_\mathrm{s}$ pod dolním koncem zábradlí. Určete poloměr Země.

Katka si vyšla ráno před přednáškou na procházku, aby vyvenčila svého potkana. Vyšla s ním na rovný palouk, a když byl potkan ve vzdálenosti $x_{1}=50\; \mathrm{m}$ od ní, hodila mu míček rychlostí $v_{0}=25\; \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ pod úhlem $α_{0}$. V okamžiku výhozu potkan vyběhl směrem ke Katce rychlostí $v_{1} = 5\; \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$. Nalezněte obecnou závislost úhlu $φ$ na čase, kde $φ(t)$ označuje úhel mezi vodorovnou rovinou a spojnicí potkana a míčku, a vykreslete tuto závislost do grafu. Na základě grafu určete, zda je možné, aby míček zakryl potkanovi Slunce, jenž se nachází ve výšce $φ_{0}=50\; \mathrm{°}$ přímo před potkanem. Počítejte s tíhovým zrychlením $g=9,\! 81\; \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$ a pro zjednodušení uvažujte, že házíme z nulové výšky.

Mějme nádobu, která je pomyslně rozdělena na dvě shodné disjunktní oblasti $\mathrm{A}$ a $\mathrm{B}$. V nádobě je $n$ částic, z nichž se každá nachází s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{A}$ a s pravděpodobností $50\; \%$ v části $\mathrm{B}$. Určete, s jakou pravděpodobností bude v části $\mathrm{A}$ $n_{\mathrm{A}}=0,\! 6 n$, resp. $n_{\mathrm{A}}=1+n/2$ částic. Řešte pro $n=10$ a $n=N_{\mathrm{A}}$, kde $N_{\mathrm{A}}≈6 \cdot 10^{23}$ je Avogadrova konstanta.

Máme roli toaletního papíru o poloměru $R=8\;\mathrm{cm}$ s dutou částí o poloměru $r=2\;\mathrm{cm}$. Každá vrstva namotaného papíru má tloušťku $d=200\; \mathrm{μm}$ a vrstvy na sebe dokonale přiléhají. O kolik útržků více v takovéto roli máme, pokud má jeden útržek délku $l_{1}=9\;\mathrm{cm}$, než když má jeden útržek délku $l_{2}=13\;\mathrm{cm}?$ Jako součást řešení vyžadujeme odhad chyby použité aproximace.

Bonus: Vypočtěte přesnou délku spirály, kterou papír vytváří.

• V textu seriálu jsme využili přibližný vztah pro $\sqrt{1 + h^2}$, kde $h$ malá hodnota. Zkoumejte, jak přesná je to aproximace. Jak moc se může $h$ lišit od nuly, aby se aproximovaná a přesná hodnota lišily o méně než deset procent? Podobnou aproximaci můžeme provést pro libovolnou rozumnou funkci pomocí tzv. Taylorova rozvoje. Pokuste se na internetu najít Taylorův rozvoj například pro funkce $\cos h$ a $\sin h$ kolem bodu $h=0$, zanedbejte členy vyšší než $h$ a najděte přibližnou mezní hodnotu $h$, kdy se aproximovaná a přesná hodnota liší o 0,1.

• Uvažujme vlnovou rovnici pro klasickou strunu ze seriálu a nechť je struna pevně upevněna na jednom konci v bodě $[x;y]=[0;0]$ a na druhém konci v bodě $[x;y]=[l;0]$. Pro jaké hodnoty $ω,α,a$ a $b$ je výraz

$$y(x,t)=\sin ({\alpha} x)\left [a\sin {({\omega} t)} b\cos {({\omega} t)}\right ]$$

řešením vlnové rovnice? Tip: Dosaďte do pohybové rovnice a využijte okrajové podmínky.

• V minulém díle seriálu jsme porovnávali hodnoty akce pro různé trajektorie částice. Nyní vypočtěte hodnotu Nambu-Gotovy akce pro uzavřenou strunu, která od času 0 do času $t$ stojí na místě v rovině $(x^1, x^2)$ a má tvar kruhu o poloměru $R$. Máme tedy

$$X({\tau} , {\sigma} )=(c{\tau} , R\cos {{\sigma} }, R\sin {{\sigma} },0)$$

pro $σ∈<0,2π>.$ Načrtněte dále, jak vypadá světoplocha této struny (na poslední nulovou komponentu zapomeňme) a jak vypadají čáry konstantního $τ$ a $σ.$

Tyčinka Twix obsahuje $32$ % polevy. Jde o váleček průměru $10\;\mathrm{mm}$. Neuvažujte polevu podstavy. Jak je poleva tlustá?

Bonus: Uvažujte lepší model tyčinky.

Kolik cihliček (kvádříků) ze čtyřiadvaceti karátového zlata o rozměrech $10\;\mathrm{cm}$, $3 \;\mathrm{cm}$ a $1 \;\mathrm{cm}$ by se vešlo do vodní nádrže Orlík? Jaký zhruba tlak bude působit na cihličku, která je na dně v nejhlubším místě nádrže?

Centra měst Drážďan a Vídně jsou od sebe vzdálena zhruba $d=370\;\mathrm{km}$ vzdušnou čarou po Zemi. O co kratší by byla vzdálenost mezi nimi, pokud bychom mohli jít přímým tunelem skrz Zemi? Zanedbejte rozdíl nadmořských výšek, ve kterých jsou města položena. Na závěr můžete srovnat i délku cesty, kterou byste mezi městy jeli autem. Aby byla tato úloha jednoduchá, je zde nápověda. Goniometrické funkce můžeme pro malé úhly aproximovat (tedy přiblížit) jako $$ \mathrm{sin} α ≈ α - α^{3}/6 \,,\\ \mathrm{cos} α ≈ 1 - α^{2}/2 \,,\\ \mathrm{tg} α ≈ α + α^{3}/3 \,, $$ kde úhel dosazujeme v radiánech. Toho můžeme využít pro vyjádření neznámé v rovnici, kde vystupuje jak samotný úhel, tak i obsažený v nějaké goniometrické funkci.

Aleš sedí pod kopcem u stanu a surfuje na internetu na svém tabletu, když tu si náhle všimne, kolik je hodin a uvědomí si, že vlastně chtěl jít na přednášku. Už je tak pozdě, že bude muset celou cestu běžet a nebude moct zastavit, ani aby se vydýchal. Proto se samozřejmě okamžitě rozběhne svou maximální běžeckou rychlostí $v$ do kopce, který má rovnoměrné stoupání $α$. Po chvíli (čas $T)$ si ale uvědomí, že má v kapse cihlu a že tu cihlu chtěl nechat u stanu. Aleš od sebe umí cihlu hodit jedině rychlostí $w$. Pod jakým úhlem má cihlu v tom okamžiku vyhodit, aby dopadla na kamaráda, co si právě sedl na jeho místo? Může se stát, že nedohodí? Aleš je hodně rychlý, a proto neuvažujte jeho reakční dobu a ani dobu, kterou vám zabere řešení úlohy.

Aleš bydlí ve čtyřpokojovém bytě, jehož půdorys si můžete prohlédnout na obrázku. Mára se ale rozhodl, že Alešův byt zamoří nepříjemnými mravenci faraony. Faraoni po bytu šíleně rychle pobíhají a to ještě navíc šíleným způsobem – můžete uvažovat, že jednou za pět minut se 60$%$ mravenců přesune do sousedních místností a jenom 40$%$ jich zůstává pobíhat ve stejné místnosti, co předtím. Přitom se rovnoměrně rozbíhají do sousedních místností (když má místnost dvoje dveře, tak 30$%$ jich přeběhne do jedné a 30$%$ do druhé, když má troje dveře, tak se rozdělí po 20$%)$. A to se opakuje každých pět minut (uvažujte jenom kroky přesně po pěti minutách). Faraonům se v bytě líbí a tak neutíkají ven. Na druhou stranu se faraoni nemají šanci jinak dostat do bytu než propašováním a to dělá jenom Mára, takže jinak ani faraoni v bytu nepřibývají.

• Když Mára zlomyslně umístí 1000 faraonů do předsíně (D), kolik faraonů bude v jednotlivých místnostech po pěti minutách? Kolik jich bude po deseti minutách a po patnácti minutách? (2 body)

• Pokud jsme našli v místnostech počty mravenců $N_{A}=12$, $N_{B}=25$, $N_{C}=25$ a $N_{D}=37$, jak byli mravenci rozmístění před pěti minutami? (1 bod)

• Bonus: Kolik mravenců by bylo v místnostech po hodně dlouhé (prakticky nekonečné) době, když by Mára rozmístil faraony jako v bodu a)? Závisí to na tom, jak Mára mravence rozmístil? A nejrafinovanější otázka - ustálí se počet mravenců na jedné hodnotě, nebo bude oscilovat? (bod/y navíc)