Vyhledávání úloh podle oboru

Sestavte si hustoměr, např. pomocí brčka a plastelíny, a změřte pomocí něj, jak závisí hustota vody na koncentraci rozpuštěné soli.

Destička tloušťky $t=1,0 \mathrm{mm}$ se šířkou $d =2,0 \mathrm{cm}$ se skládá ze dvou částí. První část o hustotě $\rho _1 =0,20 \cdot 10^{3} \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ má délku $l_1 = 10 \mathrm{cm}$, druhá část o hustotě $\rho _2 =2,2 \cdot 10^{3} \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ má délku $l_2 = 5,0 \mathrm{cm}$. Desku položíme na hladinu vody s hustotou $\rho \_v = 1{,}00 \cdot 10^{3} \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a počkáme, až se ustálí v rovnovážné poloze. Jaký úhel bude svírat rovina desky s hladinou vody? Jaká část destičky zůstane trčet nad hladinou?

Máme tenký dokonale tuhý homogenní disk o poloměru $R$ a hmotnosti $m$, ke kterému je připojena gumička. Jedním koncem je upevněná ve vzdálenosti $2R$ od okraje disku a druhým koncem na jeho okraji. Gumička funguje jako dokonalá tenká pružina o tuhosti $k$, klidové délce $2R$ a zanedbatelné hmotnosti. Disk je upevněný ve svém středu tak, že se může v jedné rovině volně otáčet kolem tohoto bodu, ale nemůže se posouvat či měnit rotační rovinu. Určete závislost velikosti momentu síly, kterou bude gumička urychlovat či zpomalovat rotaci disku v závislosti na úhlové výchylce $\phi $, a sestavte pohybovou rovnici disku.

Bonus: Určete periodu malých kmitů soustavy.

Tuhou kouli ve vzduchu roztočíme dostatečně velkou úhlovou rychlostí $\omega $ rovnoběžnou se zemí. Poté hopík pustíme z výšky $h_0$ na vodorovnou podložku. Od ní se odrazí do výšky $h_1$ a dopadne nedaleko původního místa dopadu. Určete vzdálenost těchto dvou bodů dopadu, jestliže je třecí koeficient mezi koulí a zemí $f$ dostatečně malý.

Navrhněte způsoby jak zpomalit zeměkouli tak, abychom k některým rokům nemuseli přidávat přestupnou sekundu. Spočítejte, kolik by to stálo.

Tenký homogenní disk obíhá na vodorovné podložce po kružnici s poloměrem $R$. Velikost rychlosti těžiště disku je $v$. Určete úhel $\alpha $ mezi rovinou disku a svislým směrem. Tření mezi diskem a podložkou je dostatečné. Poloměr disku je řádově menší než $R$.

Představme si měděnou smyčku o poloměru $r$, která je určena rovinou, na níž je kolmé magnetické pole s magnetickou indukcí $B$. Maximální povolené tahové napětí ve smyčce je $\sigma _p$. Nyní začneme měnit magnetický tok ve smyčce z původní hodnoty $\Phi _0$ podle vzahu $\Phi (t) = \Phi _0 + \alpha t$, kde $\alpha $ je kladná konstanta. Určete, za jak dlouho dosáhneme ve smyčce maximálního tahového napětí.

Nápověda: Napěťovou sílu ve smyčce můžeme spočítat jako $T = |BIr|$.

Předtím než se začneme věnovat umění analytické mechaniky, je vhodné si zopakovat klasickou mechaniku na následující sérii příkladů.

1. Na vrcholu křišťálové koule dřepí homogenní kulička s velmi malým poloměrem. Kuličce udělíme libovolně malou rychlost a ta tak začne padat po povrchu koule. Kde se kulička odpojí od křišťálové koule? Uvažujte, že kulička neprokluzuje.
2. Místo koule z předchozí úlohy máme křišťálový paraboloid, daný rovnicí $y = c - ax^2$. Opět nás zajímá, kde se kulička od paraboloidu odpojí?
3. Cyklista odbočuje rychlostí $v$ na cestu kolmou k té, po které právě jede. Zatáčku projede po části kružnice s poloměrem $r$. Jak moc se musí cyklista do zatáčky naklonit? Moment setrvačnosti kol bicyklu můžete zanedbat, cyklistu nahraďte hmotným bodem.
   Bonus: Moment hybnosti kol nemůžete zanedbat.

Představme si tyč s délkou $b = 5 \mathrm{cm}$ a hmotností $m = 1 \mathrm{kg}$ a pružinku s klidovou délkou $c = 10 \mathrm{cm}$, s tuhostí $k = 200 \mathrm{N\cdot m^{-1}}$ a se zanedbatelnou hmotností, které jsou na koncích spojeny. Druhé konce tyče a pružinky jsou upevněny ve stejné výšce ve vzdálenosti $a = 10 \mathrm{cm}$ od sebe. Kolem obou upevnění i kolem spoje lze libovolně rotovat. Označme $\phi $ sklon tyče od horizontálního směru. Najděte všechny hodnoty $\phi $, pro které je soustava v rovnovážné poloze. Které z těchto poloh jsou stabilní a které labilní?

Matěj si doma vyrobil střelnou zbraň a chce změřit, jakou rychlostí vystřeluje náboje. Bohužel nemá k dispozici jiný měřicí přístroj než pravítko. Našel ale kostku, jež je tvořena z poloviny ocelí a poloviny dřevem. Položí ji na kraj stolu (jehož výška je $100 \mathrm{cm}$ a délka je $200 \mathrm{cm}$) a horizontálně do ní vystřelí. Kulka se od ocelové strany dokonale pružně odrazí přesně opačným směrem a dopadne do vzdálenosti $50 \mathrm{cm}$ od stolu. Kostka se na stole posune o $5 \mathrm{cm}$. Potom Matěj kostku otočí a střelí do její dřevěné strany, v níž se kulka zaryje. Nyní naměřil posunutí jen $4 \mathrm{cm}$. Pomozte mu s výpočtem rychlosti výstřelu. Možná se vám bude hodit, že zjistil, že pohyb rozjeté kostky po stole se nezastaví, pokud jednu stranu stolu zvedne do výšky alespoň $20 \mathrm{cm}$.