Vyhledávání úloh podle oboru

Před dávnými časy v předaleké galaxii se jedna civilizace rozhodla přestěhovat celou svou sluneční soustavu. Jednou z možností bylo postavit „poloviční Dysonovu sféru“. Tedy konstrukci, která by zachycovala zhruba polovinu záření z hvězdy a odrážela jej všechno jedním směrem. Ideálním tvarem by tak byl rotační paraboloid. Jaký by musel být vztah mezi zářivým výkonem hvězdy, plošnou hustotou takového zrcadla a jeho vzdáleností od hvězdy, aby se mezi nimi udržovala konstantní vzdálenost?

Dvě auta vyjedou ve stejný čas ze stejného bodu rychlostmi $v_1 = 100 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ a $v_2 = 60 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Je možné, aby se auta od sebe vzdalovala některými z následujících rychlostí? Pokud ano, příslušné situace načrtněte. \[\begin{align*} v_a &= 160 \mathrm{km\cdot h^{-1}}  , & v_b &= 40 \mathrm{km\cdot h^{-1}}  , \\ v_c &= 30 \mathrm{km\cdot h^{-1}}  , & v_d &= 90 \mathrm{km\cdot h^{-1}} \end {align*}\]

Na bruslích se dá brzdit metodou „parallel slide“, při které se nože obou bruslí natočí kolmo na směr pohybu, což výrazně zvýší tření s podložkou. Aby bruslař nespadl, musí se naklonit o úhel $\phi = 35\dg $ od svislého směru. Předpokládejte, že člověk vážící $m = 70 \mathrm{kg}$ je i s bruslemi vysoký $H = 1,\!8 \mathrm{m}$, přičemž těžiště má ve výšce $h = 1,\!1 \mathrm{m}$ nad ledem. Spočítejte, na jak dlouhé dráze zastaví z počáteční rychlosti $v_0 = 15 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$.

Kapsle válcového tvaru (Puddle Jumper) s průměrem $d = 4 \mathrm{m}$, délkou $l = 10 \mathrm{m}$ a vodotěsnou přepážkou v polovině délky je ponořena pod hladinu oceánu a rychlostí $v = 20 \mathrm{ft\cdot min^{-1}}$ klesá ke dnu. V hloubce $h = 1~200\,\mathrm{ft}$ praskne sklo na přední podstavě a příslušná polovina kapsle se zaplní vodou. Jakou rychlostí bude nyní klesat? Za jak dlouho klesne až na dno v hloubce $H = 3~000\,\mathrm{ft}$? Předpokládejte, že stěny kapsle jsou vůči jejím rozměrům tenké.

Představme si nabitý deskový kondenzátor, jehož jedna vodorovná deska je ve fixní pozici a druhá levituje přímo pod ní v rovnovážné pozici. Spodní deska není nijak mechanicky fixována. Jaká bude kapacita takového kondenzátoru v závislosti na přiloženém napětí? Je tento kondenzátor mechanicky stabilní?

Mějme matematické kyvadlo délky $l$ se závažím o hmotnosti $m$ v tíhovém poli se zrychlením $g$. Kyvadélko uvedeme do rotačního pohybu okolo svislé osy s konstantní úhlovou rychlostí $\omega $. Určete stabilní polohy kyvadla. Výsledek vyjádřete pomocí úhlu od svislice.

Mějme homogenní pružinu s tuhostí $k$ a hmotností $m$, jejíž šířka je zanedbatelná vůči její délce. Pružinu uchytíme na jednom konci tak, aby kolem něj mohla rotovat, a následně ji roztočíme úhlovou rychlostí $\omega $. Kolikrát se tato pružina při rotaci prodlouží? Vliv tíhového pole neuvažujte.

Uvažujme dvě poloroviny, které svírají úhel $2\phi < \pi $. Umístíme je tak, aby jejich společná přímka byla vodorovná a jejich rovina symetrie byla svislá, takže vytvoří jakési údolí. Následně vezmeme hmotný bod a z výšky $h$ nad společnou přímkou jej hodíme rychlostí $v$ ve vodorovném směru tak, aby začal konat periodický pohyb jako na obrázku. Jak velkou rychlostí ho musíme hodit? Předpokládejte dokonale pružné odrazy od polorovin.

Mějme tenkou obdélníkovou desku, která se otáčí kolem své horizontálně orientované hrany konstantní úhlovou rychlostí. V okamžiku, kdy se deska nachází ve vodorovné poloze a otáčí se směrem nahoru, na ni umístíme malý kvádřík tak, aby se vzhledem k ní zpočátku nepohyboval. Jak se bude kvádřík po desce pohybovat, jestliže je tření mezi oběma tělesy nulové? Kam musíme kvádřík na začátku umístit, aby z desky vyletěl po čtvrtině otáčky desky? Diskutujte dále všechny potřebné předpoklady, které pro to musí být splněny. Bonus: Jaký výkon dodává deska kvádříku a jakou celkovou práci na něm vykoná?

Od vodovodního kohoutku se těsně za sebou odtrhnou dvě kapky a začnou padat dolů. Jak se bude jejich vzájemná vzdálenost měnit v čase? Odpor vzduchu zanedbejte. Bonus: Odpor vzduchu započítejte, odhadněte potřebné parametry a určete vzdálenost kapek po dlouhé době.