Vyhledávání úloh podle oboru

1. Vykreslete závislost chyby na velikosti kroku pro metodu odvozenou pomocí Richardsonovy extrapolace v textu seriálu. Jaký je optimální krok a minimální chyba? Porovnejte s centrovanou a dopřednou diferencí. Jako derivovanou funkci použijte $\exp(\sin(x))$ v bodě $x=1$.
   Bonus: Vypočtěte pro tuto metodu teoretickou velikost optimálního kroku pomocí odhadu chyb.
2. Na webu se nachází soubor s experimentálně zjištěnými $t$, $x$ a $y$ souřadnicemi poloh hmotného bodu. Pomocí numerické derivace nalezněte časovou závislost složek rychlosti a zrychlení a vyneste obě závislosti do grafu. Jaký fyzikální děj bod nejspíše konal? Numerickou metodu si zvolte sami, svoji volbu ale odůvodněte.
   Bonus: Existuje v tomto případě přesnější varianta získání rychlosti a zrychlení, než přímočará aplikace numerické derivace?
3. Máme zadán integrál $\int _0^{\pi } \sin ^2 x\,\d x$.
   1. Nalezněte hodnotu integrálu z geometrické úvahy za pomoci Pythagorovy věty.
   2. Nalezněte hodnotu integrálu pomocí Monte Carlo simulace. Určete směrodatnou odchylku výsledku.
      Bonus: Vyřešte Buffonovu úlohu ze seriálu (odhad hodnoty čísla $\pi$) pomocí MC simulace.
4. Nalezněte vztah pro výpočet objemu šestidimenzinální koule pomocí metody Monte Carlo.
   Nápověda: Pythagorovu větu lze využít k měření vzdáleností i ve vyšších dimenzích.

1. Upravte výraz $\sqrt {x+1}-\sqrt {x}$ tak, aby nebyl náchylný k problémům cancellation, ordering a smearing. Ke kterým z těchto problémů byl původně náchylný a proč? Jaký je rozdíl ve výsledku původního a opraveného výrazu, pokud jej vyčíslíme v double precision pro $x=1{,}0 \cdot 10^{10}$?
2. Popište funkci následujícího kódu. Jaký je rozdíl mezi funkcemi a() a b()? Pro jaké hodnoty x je lze použít? Nebojte se kód spustit a hrát si s hodnotou proměnné x. Určete také asymptotickou časovou složitost programu v závislosti na proměnné x.

   def a(n):
     if n == 0:
       return 1
     else:
       return n*a(n-1)
   def b(n):
     if n == 0:
       return 1.0
     else:
       return n*b(n-1)
   x=10
   print("{} {} {}".format(x, a(x), b(x)))

3. Označme $o_k$ a $O_k$ obvod vepsaného a opsaného pravidelného $k$-úhelníku ke kružnici. Pak pro ně platí rekurentní vztahy \[\begin{equation*} O_{2k}=\frac {2o_k O_k}{o_k + O_k} ,\; o_{2k}=\sqrt {o_k O_{2k}} . \end {equation*}\] Napište program, který pomocí těchto vztahů vypočítá hodnotu $\pi $, začněte přitom s opsaným a vepsaným čtvercem. S jakou přesností dokážete $\pi $ takto aproximovat? Obdobu tohoto postupu původně navrhl a použil Archimedes.
4. Lukáš a Mirek hrají hru. Házejí férovou mincí a když padne orel, dá Mirek Lukášovi jedno Fykosí tričko, když padne panna, dá jedno tričko Lukáš Mirkovi. Oba dohromady mají $t$ triček, z toho $l$ patří Lukášovi a $m$ Mirkovi. Pokud jednomu z hráčů dojdou trička, hra končí.
   1. Nechť $m = 3$ a Lukášova zásoba triček je nekonečná. Určete nejpravděpodobnější dobu trvání hry, tedy počet hodů mincí, po nichž hra skončí (protože Mirkovi dojdou trička).
   2. Nechť $m = 10$, $l = 20$. Proveďte simulaci pomocí generátoru pseudonáhodných čísel a nalezněte pravděpodobnost, že Mirek vyhraje všechna Lukášova trička. Celou hru nechejte proběhnout alespoň 100krát (čím více opakování, tím lépe).
   3. Jak se změní výsledek předchozí úlohy, jestliže Mirek minci „vylepší“ a panna nyní padá s pravděpodobností $5/9$?
      Bonus: Vypočtěte pravděpodobnosti analyticky a porovnejte výsledek se simulací.
5. Mějme lineární kongruenční generátor s parametry $a = 65539$, $m = 2^{31}$, $c = 0$.
   1. Vygenerujte alespoň $1 000$ čísel a spočtěte jejich střední hodnotu a rozptyl. Porovnejte se střední hodnotou a rozptylem rovnoměrného rozdělení na stejném intervalu.
   2. Nalezněte vztah, který vyjádří číslo v generované sekvenci jako lineární kombinaci čísel na dvou předchozích pozicích, tj. nalezněte koeficienty $A$, $B$ v rekurentním vztahu $x_{k+2} = Ax_{k+1} + Bx_k$. Pokud budeme považovat každá tři po sobě následující čísla za souřadnice bodu ve trojrozměrném prostoru, jak rekurentní vztah ovlivní prostorové rozložení těchto bodů?
      Bonus: Vygenerujte sekvenci alespoň $10 000$ čísel a vykreslete 3D bodový graf, který ilustruje význam uvedeného rekurentního vztahu.

Spočítejte účinnost procesoru, kterou definujeme pomocí snížení entropie dat a tepelného výkonu. Veškeré potřebné údaje si dohledejte.

Jak všichni dobře víme, na velmi malých rozměrech dobře funguje kvantová teorie pole. Na kosmických škálách se naopak projevuje především obecná teorie relativity. Vymyslete konzistentní teorii, která obě předchozí teorie sjednotí.

Sežeňte si skleničku na víno, ideálně tenkou se zabroušeným okrajem. Nejprve změřte vnitřní průměr skleničky v závislosti na výšce ode dna. Pak ji rozeznívejte, ideálně navlhčeným prstem pohybem po jejím okraji – někdy to chce trochu trpělivosti. Změřte závislost frekvence tónů, které sklenička vydává v závislosti na výšce naplnění vody v ní (alespoň pro 5 hladin vody a dvě frekvence v každé výšce).

Nápověda: Pokud je sklenička tenkostěnná, můžete její vnitřní rozměry považovat za stejné jako vnější a díky tomu závislost jejího průměru na výšce určit z vhodné fotografie s měřítkem. Pro měření zvuku doporučujeme freeware program Audacity (Rozbor → Kreslit spektrum).

Změřte modul pružnosti v torzi vlasce $G$, který jsme vám poslali společně se zadáním.

Pohádkové postavy to nemají lehké, chtějí-li zjistit, kdy se objevují na scéně. Dnešní technika jim to ale usnadňuje. Třeba princezna Pointa z pohádky o délce šest kapitol. Všechny kapitoly jsou stejně dlouhé, a tak každá na Karlově displeji měří $1200$ pixelů na výšku (samotný displej ale zobrazí jen výšku $900\; \mathrm{px}$). Při čtení Karel souvisle scrolluje a navíc čte pořád stejně rychle. Po třech minutách od začátku čtení Pointa minula první konec posuvníku ve scrollbaru a po sedmi minutách i druhý. V kolikáté kapitole se objeví Pointa?

Poznámka: Poměr výšky posuvníku vůči výšce displeje je stejný jako poměr výšky displeje vůči výšce celého textu pohádky.

Známe to všichni, krajíc chleba namazaný medem nebo marmeládou, zakousneme se a najednou je kapka mazadla na ruce a jsme za prasata. Spočítejte, jak závisí pravděpodobnost, že v krajíci bude díra skrz naskrz, v závislosti na jeho tloušťce. Model kynutí těsta necháme na vás. (Třeba rovnoměrně rozmístěné bubliny s exponenciálně rozděleným poloměrem je dobrý model.)

• Zkuste vlastními slovy popsat, k čemu a jak se používá testování hypotéz (postačí vlastními slovy popsat následující: hypotéza a alternativa, chyba 1. a 2. druhu, hladina testu, testová statistika, kritický obor testu, $p$-hodnota testu pro konkrétní naměřená data). Není potřeba uvádět přesná matematická odvození, stačí požadované pojmy a vlastnosti stručně popsat.
• V přiloženém datovém souboru testovani1.csv najdete naměřené hodnoty určité fyzikální veličiny. Pomocí jednovýběrového $t$-testu otestujte, zda je skutečná hodnota měřené fyzikální veličiny rovna $20$. Dále předpokládejme, že je naším cílem ukázat, že hodnota měřené fyzikální veličiny je větší než $20$. Použijte vhodnou jednostrannou modifikaci $t$-testu k tomu, abyste toto tvrzení ověřili (dejte si pozor na správné zvolení hypotézy a alternativy).
• V přiloženém datovém souboru testovani2.csv najdete naměřené hodnoty 2 různých fyzikálních veličin. Představujme si, že se jedná o měření stejné fyzikální charakteristiky ale za různých vnějších podmínek (teplota, tlak atd.). Pomocí dvouvýběrového $z$-testu otestujte hypotézu, že hodnota této fyzikální charakteristiky je pro obě volby vnějších podmínek stejná.
• Použijte stejná data jako v seriálové úloze z první série a pomocí Kolmogorovova-Smirnovova testu určete, který ze 4 vzorků dat pochází z normálního rozdělení a který vzorek pochází z exponenciálního rozdělení.

Bonus: Předpokládejte, že máte k dispozici měření 2 fyzikálních veličin (tedy 2 sady naměřených hodnot), kde jsou všechna měření na sobě nezávislá. Odvoďte upravený dvouvýběrový $z$-test, který by testoval hypotézu, že skutečná hodnota první měřené fyzikální veličiny je dvojnásobek skutečné hodnoty druhé měřené fyzikální veličiny. Pro udělení bodů je nutné a postačuje odvodit podobu testové statistiky a kritického oboru (Nápověda: Použijte vícerozměrnou verzi CLV, kde vhodně zvolíte funkci $f$, a dále postupujte analogicky jako u odvození klasického dvouvýběrového $z$-testu.).

Pro práci s daty použijte výpočetní prostředí R. Pro vyřešení těchto úkolů postačí drobně upravit přiložený skript, ve kterém je pomocí komentářů v kódu vysvětlena potřebná syntaxe jazyka R.

• skript v kódování UTF-8
• skript v kódování CP-1250
• testovani1.csv
• testovani2.csv

Stahujete si svůj oblíbený film o velikosti $12\; \mathrm{GB}$ rychlostí $10\; \mathrm{MB/s}$. Uvažujte, že signál se po kroucené dvojlince pohybuje rychlostí světla a modulace rozprostírá přenosovou rychlost rovnoměrně, tzn. byla-li by $1\; \mathrm{b/s}$, musíme přijmout signál za celou sekundu k obdržení $1$ bitu informace. Jak dlouhý úsek kabelu dokáže film zaplnit svými daty, pokud se bude šířit dostatečně dlouhým kabelem?