Vyhledávání úloh podle oboru

• Odvoďte Taylorův rozvoj exponenciály a pro $x=1$ graficky znázorněte posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}1⁄k!$ spolu s posloupností ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$.

Stejným způsobem porovnejte posloupnost ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$ a posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}x^{k}⁄k!$, čili posloupnost ${\sum_{k=1}^{n}x^{k}⁄k!}_{n=1,2,\ldots}$, tentokráte však pro $x=-1$.

• Druhý úkol bude určit závislost koncentrace elektronů a pozitronů na teplotě při celkovém náboji $Q=0$ v prázdné uzavřené horké dutině.

(Bude-li se vám chtít, i při jiných vámi zvolených hodnotách $Q.)$ Dále určete závislost poměru vnitřní energie $U_{e}$ elektronů a pozitronů ku celkové vnitřní energii systému $U$ (tj. součtu energie elektromagnetického záření a částic) na teplotě a určit hodnoty teploty odpovídající některým význačným hodnotám tohoto poměru (např. 3 ⁄ 4, 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4, …; může tento poměr nabývat všech těchto hodnot?).

Pokuste se své výsledky pěkně graficky zpracovat ve formě grafů (můžete zkusit i trojrozměrné).

Při vašem snažení vám může hodně pomoci, pokud si zavedete vhodné bezrozměrné jednotky (např. $βE_{0}$ místo $β$ apod.).

• Řešte soustavu diferenciálních rovnic pro $M(r)$ a $ρ(r)$ v modelu bílého trpaslíka pro několik vhodně zvolených hodnot $ρ(0)$

a pro každou z nich sledujte hodnotu, ke které se blíží $M(r)$ při $r→∞$. Ta je zřejmě rovna hmotnosti celé hvězdy. Pokuste se prozkoumat závislost této celkové hmotnosti na $ρ(0)$ a odhadnout její horní mez. Srovnejte váš výsledek s horní mezí hmotnosti bílého trpaslíka, kterou najdete v literatuře nebo na internetu. Uvažujte, že je hvězda tvořena héliem.

Jestliže jste někdy viděli včelí plást, jistě vás upoutala pravidelnost, s jakou je vybudován. V podélném řezu tvoří stěny buňky pravidelný šestiúhelník a buňky jsou k sobě seskupeny tak, že pokrývají celou rovinu plástu.

Proč mají včelí buňky tvar právě šestiúhelníků, a ne například obdélníků nebo pětiúhelníků?

Navrhněte spravedlivou (či co nejvíce spravedlivou) pětistěnnou kostku. Přesněji máme na mysli takové pětistěnné těleso, které se při hodu na podložce zastaví na každé své stěně se stejnou pravděpodobností.

Modelujte časový vývoj vlnové funkce částice, kterou umístíme do potenciálu $V(x)=\frac{1}{2}kx$ a která je v čase $τ=0$ popsána vlnovou funkcí

$ψ_{R}(X,0)=\exp(-((X-X_{0}))⁄4)$,

ψ$_{I}(X,0)=0$.

Jedná se tedy o vlnový balík se středem mimo počátek. Prozradíme vám, že jde o tzv. koherentní stav harmonického oscilátoru a vlnový balík by měl harmonicky kmitat kolem počátku s úhlovou frekvencí $\sqrt{k⁄m}$ stejně jako klasická částice.

Pokud se vám toto podaří namodelovat, můžete vyzkoušet, jak se budou chovat vlnové balíky o jiné šířce (tedy se jmenovatelem v exponenciále odlišným od čtyř), případně jak bude situace vypadat při jiném průběhu potenciálu.

Integrál

Bloudění námořníka

Pí-obvod

Epidemie v Praze

1. Z balíčku 32 karet se náhodně vyberou tři karty. Zjistěte pravděpodobnosti jevů, že mezi vybranými kartami bude právě jedno eso, alespoň jedno eso, ani jedno eso.
2. $N$ stejných částic se nachází v nádobě. Určete pravděpodobnost, že v levé půlce bude o $m$ částic více než v pravé půlce. Nakreslete graf závislosti pro $N=10^{10}$. Rozsah $m$ volte tak, aby pravděpodobnost na krajích intervalu byla desetinová oproti středu intervalu. Jak závisí šířka křivky (tj. rozdíl $m_{2}-m_{1}$, kde $m_{2}>0$ a $m_{1}<0$ jsou hodnoty $m$, pro které je pravděpodobnost poloviční oproti maximu) na $N?$
3. Odhadněte velikost ln ($n!)$ (bez použití Stirlingova vzorce).

• Spočítejte průměrnou vzdálenost cestovatele náhodně se pohybujícího po severní polokouli od severního pólu a od rovníku (předpokládejte že cestovatel se pohybuje rovnoměrně po celém povrchu polokoule, za vzdálenost berte délku cesty po povrchu Země).
• Uvažujte nekonečně vysokou rotačně symetrickou věž, jejíž poloměr ve výšce $h$ nad zemí je $r=\frac{a}{1+\frac{h}{a}}$, kde $a=1\;\jd{m}$. K dispozici máme barvu, jejíž krycí schopnost je $10\,\jd{m^{2}}$ na litr. Rozhodněte, zda potřebujeme více barvy na natření nebo naplnění této věže barvou.
• Trpaslíci se rozhodli, že pomohou Sněhurce při vaření. Sněhurka tedy rozkrájela jeden (dokonale kulatý) brambor na sedm stejně tlustých plátků a rozdala je trpaslíkům k oškrábání. Rozhodněte, který z trpaslíků bude mít nejvíce práce (trpaslíkem vynaložené usílí je úměrné povrchu oškrábané slupky).

V dešťovém mraku je množství malých kapiček vody, jejichž hustotu (tj. celkovou hmotnost kapiček v nějakém objemu lomeno tímto objemem) označme $\rho_{1}$, hustotu vody $\rho_{0}$. Spojením několika kapiček vznikne větší kapka, která začne padat a postupně na sebe nabaluje další a další kapičky. Spočítejte, jak se bude měnit poloměr padající kapky, a s jakým zrychlením se bude pohybovat.

Pro jednoduchost neuvažujte odpor vzduchu působící na kapku a malé kapičky považujte za nehybné.

Jaký je geometrický tvar (průřez) kapaliny vytékající z kohoutku v závislosti na vzdálenosti od hrdla? Pokuste se také odhadnout, v jaké vzdálenosti se proud vody začne trhat.

• Dokažte, že vektory $v_{1}=(1,2,3)$, $v_{2}=(-1,0,1)$, $v_{3}=(1,1,1)$ jsou lineárně závislé.

• Vyřešte následující soustavu diferenciálních rovnic pomocí výpočtu exponenciály matice

$$ \begin{pmatrix} x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\ \end{pmatrix} $$

Diskutujte tvar trajektorie řešení v rovině ($x,y)$ v závislosti na znaménku parametrů $a,b$.

Nápověda: Zjistěte, zda „náhodou“ neexistuje jistá podobnost mezi maticí této soustavy a komplexním číslem $a$ + $bi$ a vzpomeňte si na vzorec pro exponenciálu komplexního čísla z prvního dílu seriálu.

• Napište matice $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{3}$ popisující prostorové rotace o úhel $\frac{\pi}{2}$ okolo os $x$, $y$ a $z$ a spočítejte komutátory [$R_{1}$, $R_{2}]$, [$R_{2}$, $R_{3}]$, [$R_{1}$, $R_{3}]$. Jako nepovinný bonus se můžete pokusit své výsledky zapsat v jednotném tvaru pomocí takzvaného $Levi-Civittova$ $\epsilon$ [čti: levičivitova].

Levi-Civittovo $\epsilon$ je symbol se třemi indexy $\epsilon_{ijk}$, kde $i,j,k = 1,2,3$, který nabývá následujících hodnot: Mají-li alespoň dva z jeho indexů stejnou hodnotu, je $\epsilon_{ijk} = 0$. Dále $\epsilon_{123} = 1$ a pro všechny ostatní permutace indexů (1,2,3) získáme jeho hodnotu tak, že vyjdeme z posloupnosti 1,2,3, kterou budeme postupně modifikovat přehazováním poloh dvou čísel (např. z (1,2,3) na (2,1,3)) a to tak dlouho, dokud nedospějeme k permutaci indexů která nás zajímá. Pokud byl počet kroků (přehození dvou čísel) sudý, bude $\epsilon_{ijk}$ a v opačném případě je $\epsilon_{ijk} = -1$ (jedná se o totálně antisymetrický tenzor třetího řádu).