Vyhledávání úloh podle oboru

Vaším úkolem je spočítat maximální možnou šířku pásu úplného i částečného zatmění Slunce. Je úplné zatmění pozorovatelné vždy, když se Měsíc dostane na spojnici Slunce a Země? Pro jednoduchost uvažujte, že se všechna tři tělesa pohybují v téže rovině (ekliptice). K výpočtu použijte následujících dat:

• vzdálenost Země od Slunce $r_{Z}$ kolísá mezi $147 093 860 \,\jd{km}$ a $152 101 870 \,\jd{km}$

• vzdálenost Měsíce od Země $r_{M}$ kolísá mezi $356 410 \,\jd{km}$ a $406 740 \,\jd{km}$
• poloměr Slunce je $R_{S}= 695 990 \,\jd{km}$

• poloměr Země je $R_{Z}= 6 378\,\jd{km}$
• poloměr Měsíce je $R_{M}= 1 738\,\jd{km}$

Vezmeme-li astronomické ročenky za posledních $100$ let, zjistíme, že slunečních zatmění je přibližně $1,5$krát více než zatmění měsíčních. Zkuste přijít na to, proč je tomu tak.

Špionážní družice létá okolo nepřátelské planety po kruhové dráze v rovníkové rovině. Doba jednoho oběhu je $T$, planeta má hustotu $ρ$. Na jak velké části povrchu planety může družice provádět špionáž?

Spočtěte, o kolik procent se bude lišit teplota na Zemi v periheliu, kdy je Země od Slunce vzdálena $r$, od teploty v aféliu, kdy je vzdálenost Země–Slunce $r(1+ε)$ nepatrně větší. Předpokládejte, že Země je dokonale černé těleso a v každém okamžiku je v rovnováze s okolím. Celkový vyzářený výkon je úměrný $σT^{4}$.

Spočtěte co nejpřesněji, jakou hmotnost má zemská atmosféra.

Z „nekonečné“ vzdálenosti se k Zemi blíží meteorit počáteční rychlostí $v_{0}$. Vzdálenost meteoritu od přímky, která je rovnoběžná s vektorem rychlosti $v_{0}$ a prochází středem Země, je na začátku rovna $a$. Určete, jaký vztah musí platit mezi $v_{0}$ a $a$, aby meteorit nezasáhl Zemi.

Máme $1\,\jd{ m}$ dlouhou tyč, zapíchnutou kolmo do země. Jak dlouhý stín bude mít tyč $2\,\jd{ h}$ před západem slunce? Určete, jak se bude lišit výsledek pro různé zeměpisné šířky a různá roční období.

• Jaké zrychlení bude mít sluneční plachetnice o hmotnosti $m=10\,\jd{t}$ a velikosti plachet $S = 1000\,\jd{ m^{2}}$ nedaleko Země, kde je světelný výkon Slunce (solární konstanta) $k=1330\,\jd{W \cdot m^{-2}}$? Za jak dlouho by taková plachetnice dorazila od dráhy Země k dráze Marsu, pokud bychom ji vypustili s nulovou rychlostí? Předpokládejte, že velikost solární konstanty je v prostoru mezi Zemí a Marsem konstantní, zanedbejte gravitační vlivy všech těles. Poloměr dráhy Země je $1\,\jd{ AU}$, poloměr dráhy Marsu je $1,523\,\jd{ AU}$. $\jd{AU}$ je astronomická jednotka a její velikost je $1\,\jd{ AU}=1,495 978 70 \cdot 10^{11} \jd{m}$.

Velikost solární konstanty samozřejmě závisí na vzdálenosti od Slunce. Jaká je její velikost na Marsu?

• Vysvětlete proč je výhodnější vyrábět plachty sluneční plachetnice z materiálu, který má blízko k zrcadlovému lesku, než z matného materiálu.
• Jaká je intenzita elektrického pole (ve $\jd{V\cdot m^{-1}}$) v laserovém svazku s intenzitou $150\,\jd{ kW\cdot cm^{2}}$? Jak velká by musela být intenzita svazku, aby docházelo k ionizaci vzduchu?
• Jak by se musel upravit argument funkce kosinus, aby vztah

$$\textbf{E}(\textbf{r},t) = \textbf{E}_{0} \cos(ωt – k r + φ)$$

nepředstavoval rovinnou, ale kulovou vlnu. Kulová vlna je vlna, šířící se z bodového zdroje, asi jako když hodíte kámen do rybníka. Roviny konstantní fáze u kulové vlny jsou soustředné koule se středem ve zdroji.

• Určete, jak závisí doba života hvězdy na její hmotnosti.

• Vztah z teoretické části seriálu nám dovoluje určovat vzdálenosti dvojhvězd a hmotnosti jejich složek. Jako příklad může sloužit dvojhvězda 70 Oph. Měřením bylo zjištěno, že oběžná doba složek dvojhvězdy je $T=87,85\;\mathrm{roku}$, velká poloosa jejich dráhy má na obloze úhlovou délku $a=4,551''$. Zdánlivé magnitudy složek jsou $m_{A}=3,93$, $m_{B}=5,29$. Z těchto údajů vypočtěte vzdálenost systému a hmotnosti jednotlivých složek.

• Zkuste jednoduše zdůvodnit, proč je gravitační síla působící na těleso o hmotnosti $m$ ve vzdálenosti $r$ od středu izotropní koule o poloměru $R>r$ daná pouze hmotou $M(r)$ obsaženou v kouli o poloměru $r$ a proč je rovna $F_{g}=κmM(r)/r^{2}$, tj. jakoby byla celá hmota $M(r)$ soustředěna v centru.

• Existuje jistá skupina tzv. polytropních modelů hvězd, které jsme již schopni počítat. V těchto modelech se předpokládá závislost tlaku $p$ na hustotě $ρ$ ve tvaru $p=Cρ^{γ}$

(tzv. rovnice polytropy). Speciálním případem polytropy je adiabata (pro $γ=4/3)$, izoterma (pro $γ=1)$ a izobara (pro $γ=0)$. Pro funkce $p(r)$ a $ρ(r)$ tak máme, spolu s rovnicí hydrostatické rovnováhy, rovnice dvě a můžeme z našich úvah vyloučit teplotu. Odhadněte, stejným způsobem jako v seriálu, vztah mezi hmotností hvězdy $M$ a jejím poloměrem $R$. Určete, pro které hodnoty parametru polytropy $γ$ je hvězda stabilní.