Vyhledávání úloh podle oboru

Ve sluneční soustavě se planety, které jsou ke Slunci blíže, pohybují rychleji než planety vzdálenější. V Galaxii se hvězdy blíže středu pohybují pomaleji než hvězdy vzdálenější. Zdůvodněte tento zdánlivý rozpor.

Představme si ve vesmíru rotující planetu pokrytou po celém povrchu hlubokým oceánem. Na planetě v určitém místě přistane kosmický mnohoživelník, který volně plove na hladině a není vybaven pohonem použitelným ve vodě. Jakým směrem se začne z klidu pohybovat?

Odhadněte rozdíl elektrických potenciálů mezi konci drátu délky $l$ visícího v gravitačním poli, který vzniká působením gravitace na volné elektrony. Jak přesný voltmetr bychom potřebovali k jeho změření?

Bod, ve kterém má gravitační síla Země a Slunce stejnou velikost, je k Zemi blíže, než obíhá Měsíc. Proč tedy Měsíc neobíhá kolem Slunce?

Uvažujme družici letící k Jupiteru kolmou na jeho dráhu. Její rychlost ve velké vzdálenosti od Jupitera je $v_{0}=10~000 \;\jd{m.s^{-1}}$. Družice proletí za Jupiterem, její minimální vzdálenost od jeho středu je přitom rovna trojnásobku Jupiterova poloměru. Určete výsledný směr a velikost rychlosti sondy.

Nápověda: Nejprve proveďte přechod do soustavy, ve které je Jupiter v klidu. V této soustavě pak spočtěte úhel $\phi$, o který se při pohybu po hyperbole změní směr rychlosti.

Planeta o poloměru $R=6400\;\mathrm{km}$ je obklopena $H=10\;\mathrm{km}$ hlubokým mořem o hustotě $ρ=1000\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}$. Měřením bylo zjištěno, že při ponořování tělesa do moře se nemění gravitační síla na něj působící. Máte-li zadánu gravitační konstantu $κ=6,67\cdot 10^{-11}\,\jd{N}\cdot \;\mathrm{m}^{2}\cdot \mathrm{kg}^{-2}$, spočtěte gravitační zrychlení u povrchu planety.

Už od pradávna se lidé zabývali pozorováním oblohy a později pohybem planet okolo Slunce. Jak se to historicky odehrálo, asi všichni znáte. Tycho de Brahe sledoval mnoho let pohyby planet a zhotovil rozsáhlé tabulky. Z nich vyšel Kepler a objevil své zákony. Těch využil Newton, lépe pochopil podstatu těchto zákonů a dospěl ke krásnému vztahu:

$$F_{G} = G\frac{ mM}{r^{2}}\,.$$

Takto popisujeme pouze pohyb planet okolo Slunce. Můžeme říci, co vyvolává tuto sílu? Tímto se zabýval i Newton a nakonec se uspokojil poznáním toho, co se odehrává, bez znalosti mechanismu. Dodnes jej nikdo neobjevil. Bylo navrženo více mechanismů gravitace. Jeden ze zajímavých je tento:

Představte si, že v prostoru je velké množství částic, které se pohybují velkou rychlostí ve všech směrech a jsou málo absorbované při průchodu hmotou. Když jsou pohlcené Zemí, předávají jí hybnost. Když je těch, které jdou jedním směrem, stejně jako těch z opačného směru, jsou hybnosti vyvážené. Když se k Zemi přiblíží Slunce, jsou částice přicházející na Zemi přes Slunce částečně absorbovány a ve směru od Slunce jich přichází méně než z opačné strany. Země proto získá hybnost směřující k Slunci.

Na vás je, abyste ověřili, jestli je taková gravitační síla nepřímo úměrná čtverci vzdáleností (uvažujte dvě koule, kde jedna je mnohem menší než ta druhá – stačí přibližně). Jak asi tušíte, tento mechanismus gravitace není správný. Zkuste přijít na to, kde selhává.

Návod: Najděte chybné důsledky.

Z „nekonečné“ vzdálenosti se k Zemi blíží meteorit počáteční rychlostí $v_{0}$. Vzdálenost meteoritu od přímky, která je rovnoběžná s vektorem rychlosti $v_{0}$ a prochází středem Země, je na začátku rovna $a$. Určete, jaký vztah musí platit mezi $v_{0}$ a $a$, aby meteorit nezasáhl Zemi.

Mějme ve volném prostoru planetku (pro jednoduchost uvažujme, že planetka je homogenní koule o hmotnosti $m$ a poloměru $R)$, na jejíž povrch připevníme raketový motor. Motor je pro ideální zařízení, které má nulovou hmotnost a bez ohledu na cokoli dokáže vyvíjet určitý tah $F$. Motor je upevněn k povrchu planetky a nemůže se od něho odpoutat. Upevněn je tak, aby vyvíjený tah měl směr tečný k povrchu (viz obrázek). Určete, alespoň kvalitativně, jak se bude planetka pohybovat po uvedení motoru v činnost.

Řešitel FYKOSu měřil hloubku hradní studny. Vzal si na pomoc stopky a kámen. Kámen vhodil do studny a současně spustil stopky. Zastavil je poté, co uslyšel náraz kamenu na dno. Stopky ukázaly údaj $4,77\,\jd{s}$. Jelikož si náš přítel pamatoval velikost tíhového zrychlení a rychlost zvuku, ihned na místě spočítal hloubku (vyschlé) studny. Dokážete to také? Určete zároveň chybu popsaného měření.