Vyhledávání úloh podle oboru

• Z nerovnosti

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} \geq 0 $$ ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci $$W \leq Q \left( 1 - \frac {T_\textrm{C}}{T_\textrm{H}} \right) \, .$$

• Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

Pomůcka: Napište si 4 rovnice spojující 4 vrcholy Carnotova cyklu: $$p_1 V_1 = p_2 V_2, \;\; p_2 V_2^{\kappa} = p_3V_3^{\kappa}, \;\; p_3V_3 = p_4V_4, \;\; p_4V_4^{\kappa} = p_1V_1^{\kappa}$$ a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete $$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}\, .$$ Následně stačí použít vzorec na práci při izotermickém procesu: když přechází proces z objemu $V_{\textrm{A}}$ do $V_{\textrm{B}}$, práce vykonaná na plyn je $$nRT\;\ln{\left(\frac{V_\textrm{A}}{V_\textrm{B}}\right)}\, .$$ Teď už si stačí jen uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovná teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odebrané teplo. Na řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.

• Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Udělejte stejné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete tam izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslete do diagramu také cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správně směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.
• V seriálu jsme se zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odebrané teplo. Někdy se totiž to, jestli teplo přijímáme nebo odevzdáváme, mění v průběhu procesu. Jeden z příkladů je proces

$$p=p_0\;\mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}\, ,$$ kde $p_{0}$ a $V_{0}$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínání) proudí teplo do plynu a kdy z plynu.

V akváriu ve tvaru koule s poloměrem $r=10\;\mathrm{cm}$ plně naplněném vodou plavou v opačných směrech dvě stejné rybičky. Rybička má průřez $S=5\;\mathrm{cm}$, Newtonův odporový koeficient $C=0,\! 2$ a plave rychlostí $v=5\;\mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}$ vůči vodě. Jak dlouho musí rybičky v akváriu plavat, aby ohřály vodu o $1$ stupeň Celsia? Tepelné ztráty a biologické procesy v rybičkách zanedbejte.

• Všechny stavy ideálního plynu umíme nakreslit jako digramy: $pV$ diagram, $pT$ diagram a tak dále. Na svislou osu se vynáší první veličina, na vodorovnou osu se vynáší druhá veličina. Každý bod tedy určuje dva parametry. Načrtněte do $pV$ diagramu 4 děje s ideálním plynem, které znáte. Udělejte to stejné pro $Tp$ diagram. Jak by vypadal $UT$ diagram? Vysvětlete, jak se nevhodnost těchto dvou proměnných jeví na tomto obrázku.
• Jaké jednotky má entropie? Jaké jiné veličiny s těmito jednotkami znáte?
• V seriálu jsme rozebrali případ nárůstu entropie, když plyn přijímal teplo. Proveďte podobnou úvahu pro plyn odevzdávající teplo.
• Víte, že při adiabatickém ději se entropie nemění. Proto entropie jako funkce objemu a tlaku $S(p,V)$ může obsahovat jen takovou kombinaci objemu a tlaku, která se také při adiabatickém procesu nemění. Jaký je to výraz? Nakreslete na $pV$ diagram (svislá osa je $p$, vodorovná $V$) křivky, na kterých je entropie konstantní. Souhlasí výsledek této úvahy se vzorcem, který jsme pro entropii odvodili?
• Vyjádřete entropii ideálního plynu jako funkci $S(p,V)$, $S(T,V)$ a $S(U,V)$.

• Které ze skupiny procesů (izobarický, izochorický, izotermický a adiabatický) můžou být vratné?
• Vezměte vztah $T=pV / (nR) $ s $n=1\;\textrm{mol}$, $p=100\;\textrm{kPa}$ a $V=22\;\textrm{l}$. O kolik se změní $T$, když $p$ i $V$ zvětšíme o $10\;\%$, $1\;\%$ a $0,\! 1\; \%$? Spočítejte to dvěma způsoby: přesně a pomocí vztahu $\mathrm{d}T=T_{,p}\mathrm{d}p + T_{,V} \mathrm{d}V$. Jak se tyto výsledky liší?
• d gymnastika:
  • Ukažte, že $\mathrm{d} \left[ C f(x) \right] = C \mathrm{d} [f(x)]$, kde $C$ je konstanta.
  • Vypočítejte $\mathrm{d} (x^2)$ a $\mathrm{d} (x^3)$
  • Ukažte, že $\mathrm{d} \left( 1/x \right)= - dx/x^2$ z definice, tedy $\mathrm{d} \left(\frac{1}{x}\right)= \frac{1}{x+ \mathrm{d} x} - \frac{1}{x}$. Může se vám hodit: $(x + \mathrm{d} x)(x-\mathrm{d} x) = x^2 - (\mathrm{d} x)^2 = x^2$.
  • Bonus: Platí $\sin{(\mathrm{d} \vartheta)} = \mathrm{d} \vartheta$ a $\cos{\mathrm{d} \vartheta} = 1 $. Také máte součtový vzorec $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, dokažte $\mathrm{d}\left( \sin{\vartheta} \right)=\cos{\vartheta} \mathrm{d}\vartheta$
  • Bonus: Podobně ukažte $ \mathrm{d} \left( \ln{x} \right) = \mathrm{d}x/x $ s pomocí $\ln (1 + \mathrm{d}x) = \mathrm{d}x$
• Vysvětlete fyzikálně, proč je izobarická tepelná kapacita větší než izochorická.

• Na rozehřátí a seznámení se s čísly zjistěte, do jaké výšky byste mohli zdvihnout průměrného člověka ($70\; \textrm{kg}$), využijete-li celou energii běžné tyčinky Mars (okolo $250\; \textrm{Cal}$ pro $50\textrm{g}$ tyčinku). Také vypočtěte, jaká energie je $k_{\textrm{B}}T$ při pokojové teplotě a vyjádřete ji také v elektronvoltech (pokud neznáte takovou jednotku energie, vězte, že je to energie, kterou získá elektron při urychlení na rozdílu potenciálů $1\; \textrm{V}$, a číselně $1\;\textrm{eV} = 1,\! 602 \cdot 10^{-19}\; \textrm{J}$).
• Se stavovou rovnicí se dá hodně cvičit. Když namísto počtu částic použijete molární množství $n$, dostanete

$$pV = n N_{\mathrm{A}} k_{\mathrm{B}} T \, ,$$ kde se součin $N_{\textrm{A}}k_{\textrm{B}}$ značí $R$ a nazývá se univerzální plynová konstanta. Určete její hodnotu. Také dále upravte stavovou rovnici do tvaru, ve kterém se vyskytuje hmotnost plynu, a potom do tvaru obsahujícího hustotu plynu.

• Určete objem molu plynu při pokojové teplotě. Toto číslo je užitečné znát zpaměti.
• Nakonec trochu úvahová úloha. Povšimněte si, že v diskusi o práci ideálního plynu jsme automaticky použili tlak plynu. Zkuste sebe a mě přesvědčit, že je to ten správný tlak – já bych totiž namítal, že jsme mohli použít okolní tlak nebo dokonce rozdíl tlaků vně a uvnitř.

Poznámka: Hodnocení této části bude mírné, nebojte se zamyslet a napsat cokoli, na co přijdete.

Změřte závislost teploty tuhnutí vodného roztoku sacharózy na koncentraci za atmosférického tlaku.

Do nádoby o objemu $V=1\;\mathrm{m^3}$, ve které je velmi nízký tlak (prakticky dokonalé vakuum), umístíme $V_{0}=1\,\jd{l}$ vody o pokojové teplotě $t_{0}$. Jaký bude konečný stav, ve kterém se bude nacházet nádoba a voda v ní? Pro účely výpočtu předpokládejte, že nádoba je dokonale tepelně izolovaná od okolního prostředí a má zanedbatelnou tepelnou kapacitu.

Uvažujte pneumatiku válcovitého tvaru o poloměru $R$ s vnitřním otvorem o poloměru $r$ šířky $d$ huštěnou na tlak $p$. Pneumatiku zatížíme silou $F$. Při tomto zatížení se změní tvar pneumatiky z válce na válcovou úseč se stejným vnitřním i vnějším poloměrem. Předpokládejte, že se teplota pneumatiky zatížením nezmění. Určete plochu styku pneumatiky s vozovkou.

Mějme válcovou nádobu, jež zaujímá objem $V=1\, \jd{l}$. Nádoba je uzavřena vzduchotěsným pohyblivým pístem, který má nezanedbatelnou hmotnost $M$. Dále víme, že nádoba je vodorovnými přepážkami rozdělena na $n$ komor a v $i$-té komoře (číslováno odshora) je $2^{i}a$ částic, kde $a$ je blíže neurčená konstanta. Přepážky nejsou k nádobě připevněny, přesto nedovolují, aby si komory, v nichž je ideální plyn, vyměňovaly teplo nebo částice. Celý systém je v rovnováze. Poté zdvojnásobíme hmotnost pístu a počkáme, až se náš systém opět ustaví v rovnováze. Jak se změní objem, který plyn v nádobě zaujímá? Atmosferický tlak neuvažujte.

Zkumavky o objemu $3\, \jd{ml}$ a $5\, \jd{ml}$ jsou spojeny krátkou tenkou trubičkou, v níž je pórovitá tepelně nevodivá přepážka, která umožňuje dosažení tlakové rovnováhy v systému. Obě zkumavky původně obsahují kyslík při tlaku $101,25\, \jd{kPa}$ a teplotě $20\, \jd{°C}$. První zkumavku ($3\, \jd{ml}$) ponoříme do nádoby s rovnovážnou soustavou ledu a vody a druhou ($5\, \jd{ml}$) do nádoby s párou. Jaký bude tlak v soustavě obou zkumavek po dosáhnutí mechanické rovnováhy? Jakého tlaku by se dosáhlo, pokud by ve zkumavkách byl za stejných podmínek dusík místo kyslíku?