6. Série 31. Ročníku

Máme dva hmotné body o stejných hmotnostech $m$ ve vzdálenosti $d$ od sebe volně v prostoru bez žádných vnějších gravitačních sil. Jakou minimální rychlost ve směru spojnice obou bodů musíme udělit jednomu hm. bodu, aby se od sebe stále vzdalovaly?

Vypočítejte proud, který by měl procházet kovovým vláknem s průměrem $d = 0{,}10 \mathrm{mm}$ nacházejícím se ve vakuové baňce, aby teplota vlákna měla stálou hodnotu $T = 2 600 K$. Předpokládejte, že povrch vlákna září jako ideální černé těleso. Zanedbejte ztráty tepla způsobené vedením tepla. Rezistivita materiálu vlákna při dané teplotě je $\rho = 2{,}5 \cdot 10^{-4} \mathrm{\Omega \cdot cm}$.

Nápověda. Použijte Stefanův-Boltzmannův zákon.

Představme si tyč s délkou $b = 5 \mathrm{cm}$ a hmotností $m = 1 \mathrm{kg}$ a pružinku s klidovou délkou $c = 10 \mathrm{cm}$, s tuhostí $k = 200 \mathrm{N\cdot m^{-1}}$ a se zanedbatelnou hmotností, které jsou na koncích spojeny. Druhé konce tyče a pružinky jsou upevněny ve stejné výšce ve vzdálenosti $a = 10 \mathrm{cm}$ od sebe. Kolem obou upevnění i kolem spoje lze libovolně rotovat. Označme $\phi $ sklon tyče od horizontálního směru. Najděte všechny hodnoty $\phi $, pro které je soustava v rovnovážné poloze. Které z těchto poloh jsou stabilní a které labilní?

Matěj si doma vyrobil střelnou zbraň a chce změřit, jakou rychlostí vystřeluje náboje. Bohužel nemá k dispozici jiný měřicí přístroj než pravítko. Našel ale kostku, jež je tvořena z poloviny ocelí a poloviny dřevem. Položí ji na kraj stolu (jehož výška je $100 \mathrm{cm}$ a délka je $200 \mathrm{cm}$) a horizontálně do ní vystřelí. Kulka se od ocelové strany dokonale pružně odrazí přesně opačným směrem a dopadne do vzdálenosti $50 \mathrm{cm}$ od stolu. Kostka se na stole posune o $5 \mathrm{cm}$. Potom Matěj kostku otočí a střelí do její dřevěné strany, v níž se kulka zaryje. Nyní naměřil posunutí jen $4 \mathrm{cm}$. Pomozte mu s výpočtem rychlosti výstřelu. Možná se vám bude hodit, že zjistil, že pohyb rozjeté kostky po stole se nezastaví, pokud jednu stranu stolu zvedne do výšky alespoň $20 \mathrm{cm}$.

Filip o hmotnosti $80 \mathrm{kg}$ vyskočil z letadla, které je ve výšce $h_1 =500 \mathrm{m}$ nad zemí. Ve stejném okamžiku z druhého letadla skočila Danka o hmotnosti $50 \mathrm{kg}$, ale z výšky $h_2 =569 \mathrm{m}$ nad zemí. Předpokládejme, že oba mají stejný odporový koeficient $C = 1{,}2$, Filipova plocha příčného průřezu je $S_f = 2{,}2 \mathrm{m^2}$ a Dančina je $S_d=1{,}5 \mathrm{m^2}$. Hustota vzduchu $\rho =1{,}205 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ se nemění s výškou. Za jakou dobu od výskoku bude Danka ve stejné výšce nad zemí jako Filip?

Podle současných pozorování a vesmírných modelů se zdá, že vesmír se rozpíná a rychlost rozpínání se zvyšuje. Co kdyby to tak nebylo? Co kdyby byl vesmír stále stejně velký, ale měnily by se fyzikální zákony/konstanty? Jak by se musely konstanty měnit, aby se nám zdálo, že se vesmír rozpíná, jak ukazují pozorování? Popište co nejvíce zákonů, které by se musely měnit.

Změřte rychlost hoření špejle v závislosti na úhlu naklonění vůči vodorovné rovině.

1. Na základě Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj populace predátora a kořisti (např. slunéčka sedmitečného a mšice makové) pro následující hodnoty parametrů: $r\_m = 0{,}8$, $D\_m = 1{,}0$, $r\_s = 0{,}75$, $D\_s = 1{,}5$. Počáteční populace volte po dvojicích jako $m = 0{,}5$ a $s = 2{,}0$; $m = 1{,}5$ a $s = 0{,}5$; $m = 1{,}95$ a $s = 0{,}75$. Výsledek zaneste do grafu závislosti populace predátora na populaci kořisti. Výsledky diskutujte.
   Bonus: Nalezněte tvar křivek v grafu pomocí analytických metod (integrací diferenciální rovnice).
2. Použitím kompetitivního Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj dvou soupeřících populací s omezenou populační kapacitou (např. káně lesní a poštolka obecná) pro tyto hodnoty parametrů: $r\_k = 0{,}8$, $I\_{kp} = 0{,}2$, $k\_k = 2{,}0$, $r\_p = 0{,}6$, $I\_{pk} = 0{,}3$, $k\_p = 1{,}0$. Počáteční populace volte jako $k = 0{,}01$, $p = 1{,}0$. Poté změňte interakční koeficienty na $I\_{kp} = 1{,}5$ a $I\_{pk} = 0{,}6$, zbytek ponechejte. Výsledky zaneste do jednoho grafu závislosti velikosti populací na čase, diskutujte.
3. Ověřte důležitost pivotizace. Vyřešte soustavu \[\begin{equation*} \begin{pmatrix} 10^{-20} & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end {equation*}\] nejprve přesně (na papíře), poté s využitím LU dekompozice s (částečnou) pivotizací (využijte nějakou knihovní funkci, např. scipy.linalg.lu()), a nakonec pomocí LU dekompozice bez pivotizace (to si budete muset sami naprogramovat). Porovnejte výsledky $\vect {x}$ z jednotlivých metod a výsledky zpětného vynásobení matic $L^{-1}\cdot U$ (resp. $P\cdot L^{-1}\cdot U$ v případě s pivotizací).
4. Mějme nekonečný deskový kondenzátor se vzdáleností desek $L=10 \mathrm{cm}$ a napětím mezi deskami $U=5 \mathrm{V}$. Do kondenzátoru vložíme uzemněnou elektrodu ve tvaru nekonečně dlouhého hranolu s čtvercovou podstavou o hraně $a=2 \mathrm{cm}$, jejíž střed leží $l=6{,}5 \mathrm{cm}$ od uzemněné desky původního kondenzátoru (tak, že leží mezi deskami). Hranol je orientován tak, že jedna z jeho kratších hran je kolmá k deskám kondenzátoru. Nalezněte průběh elektrického potenciálu v kondenzátoru. Protože je problém symetrický vůči posunu v ose rovnoběžné s nekonečnou hranou hranolu, stačí jej řešit v řezu kolmém k této ose, jde tedy o 2D problém. V této rovině pak získaný průběh potenciálu také vykreslete. K řešení můžete využít program přiložený k zadání.
   Bonus: Vypočtěte a vykreslete také průběh velikosti intenzity el. pole $\vect {E}$.