5. Série 36. Ročníku

Vojta hraje na violoncello. Na strunu naladěnou na frekvenci $f$ zlehka přiloží prst do vzdálenosti $1/n$ její délky od hlavy nástroje a rozezní ji, přičemž slyší tón o základní frekvenci $f_1$. Následně strunu na stejném místě úplně přimáčkne ke hmatníku a rozezní ji znovu. Tentokrát nástroj vydává tón o základní frekvenci $f_2$. Určete poměr frekvencí $f_1/f_2$ v závislosti na přirozeném čísle $n$.

Na pohybující se vodorovný dopravní pás každou sekundu svisle dopadá materiál o hmotnosti $\mu $, který na jeho konci padá pryč. Na pás působí odporová síla $F\_{odp}=kv$, která je přímo úměrná rychlosti pásu $v$ přes konstantu $k$. Jak velkou rychlostí se bude pás pohybovat, pokud

• na něj působí konstantní pohonná síla $F$?
• je poháněn motorem s konstantním výkonem $P$?

Karel jezdí výtahem v budově, která má přízemí a nad ním dalších $12$ pater, přičemž výška jednoho patra je $h=3{,}0 \mathrm{m}$. Uvažujte, že výtah během své jízdy polovinu doby zrychluje a druhou polovinu doby zpomaluje konstantním zrychlením $a=1{,}0 \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. S $50 \mathrm{\%}$ pravděpodobností výtah stojí v přízemí a zbytek pravděpodobnosti je rovnoměrně rozdělený mezi ostatní patra. Jaká je očekávaná doba čekání na výtah v jednotlivých patrech budovy? Zanedbejte čas otevírání dveří.

Bonus: Mějme $2$ výtahy opět v dvanáctipatrové budově. Jeden výtah bude odvolávaný do přízemí. Do jakého patra bychom měli posílat druhý, abychom minimalizovali průměrnou dobu čekání? Předpokládejte analogicky, že polovina jízd bude začínat v přízemí a druhá polovina s rovnoměrnou pravděpodobností v libovolném z dalších pater.

FYKOS plánuje vyslat do vesmíru vlastní družici. Ta bude poháněna solárními články, potřebujeme proto, aby se ve stínu Země nenacházela příliš dlouho. V jaké výšce nad povrchem bude doba průletu stínem Země nejmenší? Při svých výpočtech uvažujte (stejně jako organizátoři), že Země je dokonale kulatá, sluneční paprsky jsou v jejím okolí paralelní a Slunce, Země a trajektorie družice se nachází v jedné rovině.

Bonus: Během řešení narazíte na analyticky neřešitelnou rovnici. Nepoužívejte online řešiče, ale naprogramujte vlastní řešení.

Jednou kladně ionizovaný atom xenonu vyletěl rychlostí $v=7 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ze středu velké válcové cívky a začal se pohybovat homogenním magnetickým polem v rovině kolmé na magnetické siločáry. V tu chvíli cívku odpojíme od zdroje, takže její indukce začne exponenciálně klesat podle vztahu $\f {B}{t}=B_0\eu ^{-\Omega t}$, kde $B_0=1,1 \cdot 10^{-4} \mathrm{T}$ a $\Omega =600 \mathrm{s^{-1}}$. S jakou odchylkou od původního směru se atom bude pohybovat po ustálení? Nápověda:: V úloze se nebojte použít vhodnou aproximaci, nebo ji zkuste řešit numericky.

Popište co nejvíc přírodních vlivů, které způsobí vyvrácení/silné poškození osamoceného stromu na louce. Jeden z nich zkuste co nejlépe kvalitativně rozebrat. Jaký je rozdíl mezi listnatým stromem a jehličnanem?

Bonus: Některý z vlivů rozeberte i kvantitativně.

Pomocí difrakce na mřížce určete hustotu zápisu dat na CD. Zkuste porovnat výsledky s DVD.

Vazebná energie molekuly fluoru je přibližně $37 \mathrm{kcal/mol}$. Pokud uvážíme dosah vazebných interakcí přibližně $3 \mathrm{\AA }$ od optimální vzdálenosti, jakou (průměrnou) silou musíme působit, abychom molekulu roztrhli? Spočítejte „tuhost“ molekuly fluoru, pokud by uprostřed tohoto rozmezí působila síla o velikosti této průměrné síly. Jaká by byla vibrační frekvence této molekuly? Srovnejte s experimentální hodnotou $916{,}6 \mathrm{cm^{-1}}$. ($4 \mathrm{b}$)

Zkuste pomocí Psi4 spočítat disociační křivku $\mathrm {F_2}$ a proložit ji v okolí minima parabolou. Jaká vám z ní tentokrát vyjde energie vibračních přechodů? ($3 \mathrm{b}$)

Máte dvě lahve alkoholu, které vám přišly přinejmenším podezřelé. Vzali jste je tedy do laboratoře a získali z nich následující Ramanova spektra. Pomocí programu Psi4 spočítejte, na jakých frekvencích jsou vibrační přechody molekul metanolu i etanolu, a na základě toho odhadněte, ve které lahvi je methanol a ve které ethanol. Můžete využít přibližné geometrie ethanolu a methanolu, které jsou součástí zadání na webu. ($3 \mathrm{b}$)