1. Série 31. Ročníku

Kdy je nejvhodnější nalít do horké kávy chladné mléko, abychom ji mohli pít co nejdříve? Nepožadujeme přesný výpočet, ale podrobný slovní popis toho, jak káva chladne a jak byste postupovali.

Uvažujte optický switch (propustnost $10 \mathrm{Gb s^{-1}}$), jehož výstup (po patřičném zesílení) použijete k ozáření Měsíce. Díky zrcátkům zanechaným na jeho povrchu z dob projektu Apollo se signál vrátí zpět a přivedete jej (po patřičném zesílení) na vstup switche. Pokud zajistíme spolehlivé fungování switche, budou jednou vyslaná data v systému „obíhat“ trvale, takže jsme získali paměť. Jaká je její maximální kapacita? Dobu zpracování ve switchi a velikost datových hlaviček zanedbejte.

Máme homogenní úhelník ve tvaru L o stranách délek $b,c$. Je volně zavěšen v železničním vagóně za konec jedné strany tak, že jeho vrchol míří ve směru jízdy vagonu. S jakým zrychlením $a$ se musí vagon pohybovat, aby spodní strana úhelníku byla rovnoběžná se směrem jízdy? Relativistické jevy neuvažujte.

Bonus: Relativistické jevy uvažujte.

Co když si skoro prázdnou 1,5 litrovou PET láhev uzavřeme v dobře vytápěné kanceláři, dejme tomu na $t\_k = 26 \mathrm{\C }$, a pak vyjdeme vstříc novým zážitkům dolů ze schodů? Láhev začne praskat. Co má větší vliv? To, že se mění atmosférický tlak, jak scházíme 10 pater v budově, nebo to, že je na schodech, dejme tomu, $t \_s = 15 \mathrm{\C }$?

Nejspíše jste již někdy přemýšleli o tom, jestli neexistují nějaké mimozemské civilizace. Zpravidla čím větší hvězda je, tím větší má zářivý výkon a tím kratší má také svůj život. Zaměřme se nyní na to, že máme dvě hvězdy, z nichž jedna má dvojnásobný zářivý výkon co druhá. Pokud je pásmo, ve kterém je možný život, dáno teplotou, na které by se ustálilo dokonale černé těleso, a určitými dvěma teplotami (stejné pro jakoukoliv soustavu), kolem které hvězdy je širší pásmo, ve kterém by mohla být planeta se životem? Kolikrát bude větší oproti druhé hvězdě?

Jak by se chovalo letadlo v mikrogravitaci (prostě uvažujte, že na něj gravitační síla nepůsobí)? Popište, jaký efekt by měla směrovka, výškovka, křidélka, případně vektorování tahu motorů. Jaké akrobatické manévry by byly možné? (Například plochá vývrtka asi ne.)

Změřte průhyb špejle položené na jejích koncích v závislosti na síle působící na jejím středu (viz obrázek).

1. Upravte výraz $\sqrt {x+1}-\sqrt {x}$ tak, aby nebyl náchylný k problémům cancellation, ordering a smearing. Ke kterým z těchto problémů byl původně náchylný a proč? Jaký je rozdíl ve výsledku původního a opraveného výrazu, pokud jej vyčíslíme v double precision pro $x=1{,}0 \cdot 10^{10}$?
2. Popište funkci následujícího kódu. Jaký je rozdíl mezi funkcemi a() a b()? Pro jaké hodnoty x je lze použít? Nebojte se kód spustit a hrát si s hodnotou proměnné x. Určete také asymptotickou časovou složitost programu v závislosti na proměnné x.

   def a(n):
     if n == 0:
       return 1
     else:
       return n*a(n-1)
   def b(n):
     if n == 0:
       return 1.0
     else:
       return n*b(n-1)
   x=10
   print("{} {} {}".format(x, a(x), b(x)))

3. Označme $o_k$ a $O_k$ obvod vepsaného a opsaného pravidelného $k$-úhelníku ke kružnici. Pak pro ně platí rekurentní vztahy \[\begin{equation*} O_{2k}=\frac {2o_k O_k}{o_k + O_k} ,\; o_{2k}=\sqrt {o_k O_{2k}} . \end {equation*}\] Napište program, který pomocí těchto vztahů vypočítá hodnotu $\pi $, začněte přitom s opsaným a vepsaným čtvercem. S jakou přesností dokážete $\pi $ takto aproximovat? Obdobu tohoto postupu původně navrhl a použil Archimedes.
4. Lukáš a Mirek hrají hru. Házejí férovou mincí a když padne orel, dá Mirek Lukášovi jedno Fykosí tričko, když padne panna, dá jedno tričko Lukáš Mirkovi. Oba dohromady mají $t$ triček, z toho $l$ patří Lukášovi a $m$ Mirkovi. Pokud jednomu z hráčů dojdou trička, hra končí.
   1. Nechť $m = 3$ a Lukášova zásoba triček je nekonečná. Určete nejpravděpodobnější dobu trvání hry, tedy počet hodů mincí, po nichž hra skončí (protože Mirkovi dojdou trička).
   2. Nechť $m = 10$, $l = 20$. Proveďte simulaci pomocí generátoru pseudonáhodných čísel a nalezněte pravděpodobnost, že Mirek vyhraje všechna Lukášova trička. Celou hru nechejte proběhnout alespoň 100krát (čím více opakování, tím lépe).
   3. Jak se změní výsledek předchozí úlohy, jestliže Mirek minci „vylepší“ a panna nyní padá s pravděpodobností $5/9$?
      Bonus: Vypočtěte pravděpodobnosti analyticky a porovnejte výsledek se simulací.
5. Mějme lineární kongruenční generátor s parametry $a = 65539$, $m = 2^{31}$, $c = 0$.
   1. Vygenerujte alespoň $1 000$ čísel a spočtěte jejich střední hodnotu a rozptyl. Porovnejte se střední hodnotou a rozptylem rovnoměrného rozdělení na stejném intervalu.
   2. Nalezněte vztah, který vyjádří číslo v generované sekvenci jako lineární kombinaci čísel na dvou předchozích pozicích, tj. nalezněte koeficienty $A$, $B$ v rekurentním vztahu $x_{k+2} = Ax_{k+1} + Bx_k$. Pokud budeme považovat každá tři po sobě následující čísla za souřadnice bodu ve trojrozměrném prostoru, jak rekurentní vztah ovlivní prostorové rozložení těchto bodů?
      Bonus: Vygenerujte sekvenci alespoň $10 000$ čísel a vykreslete 3D bodový graf, který ilustruje význam uvedeného rekurentního vztahu.