2. Série 20. Ročníku

Čeňkova pila se nachází na soutoku řek Vydry a Křemelné na Šumavě. Pojmenovaná je podle obchodníka s dřevem Čeňka Bubeníčka, který zde pilu v 19. století postavil. Na jejím místě nyní stojí vodní elektrárna, která je stále v provozu a patří mezi technické památky.

Vodní elektrárna využívá výškový rozdíl hladin nad a pod turbínou $10\, \rm{m}$, výkon elektrárny je $96\, \rm{kW}$. Voda je na turbínu přiváděna vantroky (Vantroky jsou dřevěná stavba – koryto obdélníkového průřezu, kterým je přiváděna voda na mlýnské kolo.), které jsou široké $1\, \rm{m}$, a voda v nich sahá do výšky $1,\!5\, \rm{m}$. Při pozorování proudící vody jsme odhadli, že uprostřed vantroků má proud vody rychlost $1\, \rm{m}\cdot \rm{s^{- 1}}$. Odhadněte, jaká je účinnost elektrárny.

Pokuste se najít libovolný vztah mezi rychlostí meteoroidu dané hmotnosti těsně před dopadem na povrch Země a poloměrem vzniknuvšího kráteru.

Navrhněte rozmístění zářivek na stropě pracovny, který je ve výšce 3 m nad deskou stolu tak, aby intenzita osvětlení na ploše stolu nekolísala víc než o $0,\!1\, \%$.

Vraťte se zpátky do 18. století do doby, kdy ještě nebyla známa konstanta v Newtonově gravitačním zákoně ani vzdálenost Země od Slunce či jiných planet. V té době Edmond Halley (astronom, který poznal, že kometa pozorovaná v roce 1682 je stejná jako ta v letech 1456, 1531 a 1607) navrhl určit vzdálenost Slunce od Země proměřením přechodu planety Venuše přes sluneční kotouč. Přechody Venuše se bohužel odehrávají nepravidelně. Přicházejí v párech po osmi letech, ale potom k nim nedochází sto let i déle a za Halleyho života nedošlo k žádnému.

Myšlenka nezapadla, doutnala, a když se blížil další přechod v roce 1761, vědecký svět byl připraven. Vědci se vydali do sta míst na světě (mj. na Sibiř, do Číny, Jižní Afriky, Indonésie). Byl to první vědecký podnik v historii založený na mezinárodní spolupráci.

Po návratu měřičů se dospělo k závěru, že měření přechodu bylo v podstatě nezdarem. Ironií je, že jedním z problémů byl příliš velký počet pozorování, která se často ukázala jako protikladná. Úspěšné měření Venušina přechodu naopak uskutečnil kapitán James Cook v roce 1769 z jednoho slunného vrchu na Tahiti. Po jeho návratu měli astronomové dostatek informací, aby vypočítali, že průměrná vzdálenost ze Země ke Slunci činí zhruba 150 miliónů kilometrů.

Na vás je, abyste tak jako Edmond Halley vymysleli, jak lze z měření přechodu Venuše určit vzdálenost Země od Slunce. Samozřejmě neznáte jiná než tehdejší data: poloměr Země a dobu oběhu Země a Venuše kolem Slunce z astronomických pozorování.

Vysvětlete, proč když zatřepeme sypaným čajem v plechovce, zůstanou větší kousky lístků spíše nahoře než dole. Řešení můžete obohatit vlastním pozorováním.

Na základě rozměrové analýzy najděte vztah pro rychlost vln na vodě. Teoretický vztah ověřte a najděte neznámé konstanty z měření rychlosti vln v závislosti na jejich vlnové délce. Uvědomte si, že existují dva typy vln – jedny jsou způsobené gravitací Země a druhé povrchovým napětím.

Částice se spinem 1/2 (např. elektron) se může nacházet ve dvou stavech projekce spinu na osu $z$. Buď spin míří nahoru, pak se nachází ve stavu |↑〉, či dolů, to je ve stavu |↓〉. Tyto dva stavy tvoří bázi dvoudimensionálního Hilbertova prostoru popisující právě částici se spinem 1/2.

• Napište, jak vypadá operátor identity na tomto prostoru v řeči vektorů |↑〉 a |↓〉.
• Najděte vlastní vektory a vlastní čísla matic $S_{1}$, $S_{2}$

a $S_{3}$.

• Máte zadány operátory $S_{+}$ a $S_{-}$ ve tvaru $S_{+}=|↑〉〈↓|$, $S_{-}=|↓〉〈↑|$.

Najděte jejich vyjádření v bázi vektorů |↑〉 a |↓〉 a určete, jak působí na obecný vektor |$ψ〉=a|↑〉+b|↓〉$. Jak vypadají vlastní vektory těchto operátorů a jaká jsou vlastní čísla?

• Definujme vektory

|⊗〉 = ( |↑〉 + |↓〉 ) ⁄ √2 |⊕〉 = ( |↑〉 − |↓〉 ) ⁄ √2. Ukažte, že tyto vektory tvoří bázi na našem Hilbertově prostoru a najděte vztah mezi koeficienty $a$, $b$ v rozkladu |$ψ〉$ do původní báze a koeficienty $c$, $d$ v rozkladu |$ψ〉=c|⊗〉+d|⊕〉$ do nové báze.

• Napište tvar operátorů spinu $S_{1}$, $S_{2}$ a $S_{3}$ v bázi vektorů |⊗〉 a |⊕〉. Určete jejich vlastní čísla a vektory.