5. Série 34. Ročníku

Jaký celkový náboj by musela mít Země, aby elektrony blízko jejího povrchu odlétávaly pryč? Jak by se tento náboj lišil pro protony?

Siderická perioda Jupiteru činí přibližně $11,9 \mathrm{roku}$, rychlost světla je $3 \cdot 10^{8} \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, vzájemnou vzdálenost Země a Slunce předpokládejte rovnu $150 \cdot 10^{9} \mathrm{m}$. Pomocí těchto veličin odhadněte, jak dlouho poletí světlo z Jupiteru na Zem, jestliže se Jupiter nachází na místě, na které se z opozice dostane za jednu čtvrtinu synodické periody.

Lukáš si chtěl uvařit večeři. Postavil hrnec na plotnu, ale zapomněl do něj dát vodu (nebo cokoliv jiného). Teplota hrnce a vzduchu uvnitř něj se ustálila na $100 \mathrm{\C }$ (neptejte se, jak se to bez vody podařilo). Lukáš si záhy svoji chybu uvědomil a hrnec z plotny sundal, po vychladnutí na pokojovou teplotu z něj ale nedokázal sejmout poklici o ploše $S$ a hmotnosti $m$. Spočítejte, jakou silou poklice na hrnci držela, pokud ji tam Lukáš dal

1. těsně před sundáním z plotny,
2. před začátkem přípravy večeře.

Předpokládejte, že vzduch se chová jako ideální plyn.

Uvažujme dvě poloroviny, které svírají úhel $2\phi < \pi $. Umístíme je tak, aby jejich společná přímka byla vodorovná a jejich rovina symetrie byla svislá, takže vytvoří jakési údolí. Následně vezmeme hmotný bod a z výšky $h$ nad společnou přímkou jej hodíme rychlostí $v$ ve vodorovném směru tak, aby začal konat periodický pohyb jako na obrázku. Jak velkou rychlostí ho musíme hodit? Předpokládejte dokonale pružné odrazy od polorovin.

Mějme tenkou obdélníkovou desku, která se otáčí kolem své horizontálně orientované hrany konstantní úhlovou rychlostí. V okamžiku, kdy se deska nachází ve vodorovné poloze a otáčí se směrem nahoru, na ni umístíme malý kvádřík tak, aby se vzhledem k ní zpočátku nepohyboval. Jak se bude kvádřík po desce pohybovat, jestliže je tření mezi oběma tělesy nulové? Kam musíme kvádřík na začátku umístit, aby z desky vyletěl po čtvrtině otáčky desky? Diskutujte dále všechny potřebné předpoklady, které pro to musí být splněny. Bonus: Jaký výkon dodává deska kvádříku a jakou celkovou práci na něm vykoná?

Jistě jste již někdy slyšeli, že skořápka běžného slepičího vejce dokáže vydržet i poměrně velký tlak. Vysvětlete, jak je to možné, když je přeci velmi snadné vejce rozbít. V jakém směru snese skořápka největší zatížení? Proč a jak se rozbije, když ji zatížíme příliš? Popište různé mechanismy a určete, který je nejpravděpodobnější. Nezapomeňte, že se zabýváme skutečnými, nikoli ideálními vejci. Kde to bude možné, zkuste svá tvrzení podpořit výpočty.

Změřte kapacitu libovolné baterie (například tužkové AA) a porovnejte ji s deklarovanou hodnotou.

1. Na napnutém laně mohou existovat vlny ve výchylce $\f {u}{x, t}$ z rovnovážné polohy, které splňují vlnovou rovnici s tlumením

\[\begin{equation*} \ppder {u}{t} = v^2 \ppder {u}{x} + \Gamma \pder {u}{x}  , \end {equation*}\] kde $v$ je fázová rychlost a $\Gamma $ je tlumící koeficient. Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah. Vyřešte jej pro vlnové číslo $k$. Jakou podmínku, vyjádřenou pomocí frekvence $\omega $, fázové rychlosti $v$ a koeficientu $\Gamma $, musí vlny splňovat, aby byly na laně pozorovány uzly (body, ve kterých lano zůstává v rovnovážné poloze, ale v jejichž okolí se pohybuje)?

1. Uvažujte švihadlo, přichycené na jednom konci k nehybné stěně. Ve vzdálenosti $L$ od stěny jej chytneme do ruky a začneme s ním pohybovat nahoru a dolů, čímž v něm vytvoříme vlnění. Švihadlo s délkovou hustotou $\lambda $ udržujeme v napětí $T$ ve směru od stěny, výchylka tedy splňuje rovnici

\[\begin{equation*} \ppder {u}{t} = \frac {T}{\lambda } \ppder {u}{x}  . \end {equation*}\] Pro výchylku konce švihadla, se kterým pohybujeme, platí $\f {u_0}{t} = A \f {\cos }{\omega _0 t}$. Předpokládejte, že řešení lze zapsat ve formě dvou rovinných vln, pohybujících se v opačných směrech. Nalezněte takové řešení pouze s využitím zadaných parametrů, tj. $T$, $\lambda $, $L$, $A$ a $\omega _0$. Výsledné řešení má amplitudu rostoucí nade všechny meze pro určité frekvence. Určete jejich hodnoty a jim odpovídající vlnové délky.