5. Série 37. Ročníku

Velitel operace převzetí ruské enklávy si hoví ve svém rekreačním člunu ve tvaru kvádru s plochou podstavy $S$ a výšce $H$, když v tom diverzní skupina prorazí na dně Viselského zálivu přímo pod ním díru do alkoholovodu – potrubí přivádějící do Královce z Budějovic kvalitní českou nedostatkovou surovinu o hustotě $\rho \_B$. Zjistěte, za jakých podmínek se člun potopí, jestliže před nehodou byl ponořen do hloubky $h$ a vrstva piva na hladině po nehodě je $\Delta h$.

Adam si umí psát smysluplné poznámky rychlostí $v_1$. Bohužel jeho přednášející analýzy mluví rychlostí $v_2$. V přednáškové síni je průvan, který vane ve směru od Adama k přednášejícímu a vzduch se v něm pohybuje rychlostí $v_3$. Jak rychle a jakým směrem po přímce procházející Adamem a přednášejícím se musí Adam pohybovat, aby si byl vše, co přednášející řekne, schopen přepsat do sešitu?

Jirka hrál s kamarády bowling. Kouli házel tak, že při dopadu na dráhu měla vodorovnou rychlost $v_0$ a klouzala po dráze bez otáčení. Mezi dráhou a koulí byl však koeficient tření $f$, a proto se po čase $t^\ast $ koule začala otáčet bez prokluzování. Určete finální rychlost $v^\ast $ při tomto rovnovážném stavu, čas $t^\ast $ a vzdálenost $s^\ast $, kterou koule urazí, než dosáhne rovnováhy. Koule je plná, má poloměr $r$ a hmotnost $m$.

Uvažujme centrifugu o délce $L = 30 \mathrm{cm}$, ve které jsou v roztoku homogenně rozmístěny malé kulovité částice o poloměru $r = 50~\mathrm{\micro m}$ a hmotnosti $m = 5,5 \cdot 10^{-10}~\mathrm{kg}$. Hustota roztoku je $\rho \_r = 1~050~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a jeho viskozita $\eta = 4,8 \mathrm{mPa\cdot s}$. Nádoba s roztokem se nachází ve vodorovné pozici a náhle se začne otáčet úhlovou rychlostí $\omega = 0,5~\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$. Určete, za jak dlouho se $90 \mathrm{\%}$ všech částic dostane na konec centrifugy. Vzájemné srážky a pohyb částic vlivem difúze neuvažujte. Nádoba se otáčí kolem vertikální osy umístěné na jednom z jejích konců.

Uvažujme sériově zapojený obvod s rezistorem o odporu $R$, cívkou a kondenzátorem s kapacitou $C$. Sériově k těmto prvkům jsou zapojeny zdroje střídavého napětí vždy se stejnou amplitudou $U$, které se ovšem liší svou frekvencí, která je $n \omega _0$, kde $n$ je přirozené číslo. Jaká může být frekvence $\omega _0$, abychom dokázali najít cívku s takovou indukčností $L$, aby na rezistoru byla napětí s frekvencí jinou než $N \omega _0$ potlačena alespoň o $90 \mathrm{\%}$? $N$ je předem známé přirozené číslo (tj. hodnota $\omega _0$ na něm může záviset) a napětí s frekvencí $N \omega _0$ naopak více než o $90 \mathrm{\%}$ potlačit nechceme.

Na povrchu Merkuru je atmosféra hustá srovnatelně s vakuovými trubicemi v CERN, ve kterých probíhají experimenty ke zkoumání částicové fyziky. Byl by dobrý nápad přesunout experimenty na Merkur a provádět je na jeho povrchu? Zmiňte co nejvíce argumentů a stručně je popište.

Bonus: Navrhněte, kde by bylo nejlepší postavit urychlovač.

Změřte závislost dynamické viskozity $\eta $ kuchyňského oleje na teplotě $T$. Naměřená data proložte funkcí \[\begin{equation*} \eta = \eta _0 \f {\exp }{\frac {T_0}{T}}   \end {equation*}\] a vyčíslete hodnoty parametrů $\eta _0$ a $T_0$.

Nápověda: Při fitování vašich výsledků vyneste vodorovnou osu jako $1/T$. Pak je možné proložení dat požadovanou křivkou i v méně pokročilém programu, např. v Excelu.

1. Hlinikáreň ročne vyprodukuje $160~000~\mathrm{t}$ hliníka, ktorý sa vyrába elektrolýzou z oxidu hlinitého pomocou jednosmerného napätia $U=4{,}3~\mathrm{V}$. Určte koľko blokov jadrovej elektrárne s čistým elektrickým výkonom $W_0=500 \mathrm{MW}$ zodpovedá energii spotrebovanej hlinikárňou.
2. Na tangentový galvanometer s $n$ závitmi s polomerom $R$ privedieme jednosmerný prúd o veľkosti $I$. Strelka kompasu sa vychýli o uhol $\alpha $ z rovnovážnej polohy. Odvodťe vzťah potrebný pre určenie pretekajúceho prúdu.
3. Meranie teploty $T$ pomocou termistora na určenie jeho odporu $r(T)$ využíva Wheatstonov mostík s tromi odpormi o známych hodnotách $R_1$, $R_2$, $R_3$. Aké napätie $U(T)$ nameriame na voltmetri uprostred mostíka?
4. V druhej polovici minulého storočia sa používali konvenčné elektrické jednotky založené na fixovaní hodnôt frekvencie hyperjemného prechodu cézia $\nu \_{Cs}=9~192~631~770~\mathrm{Hz}$, von Klitzingovej konštanty $R\_K=25~812.807~\ohm $ a Josephsonovej konštanty $K_J=483~597.9 \cdot 10^{9}~\mathrm{Wb^{-1}}$. Určte hodnotu coulomba $1 \mathrm{C}$ vyjadreného pomocou týchto konštánt.